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第1页，共18页2019年四川省成都七中高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足𝑧(1+𝑖)2=2−𝑖(𝑖为虚数单位)，则|𝑧|为()A.2B.√5C.√52D.12.设全集𝑈=𝑅，集合𝑀={𝑥|𝑦=lg(𝑥2−1)}，𝑁={𝑥|0𝑥2}，则𝑁∩(∁𝑈𝑀)=()A.{𝑥|−2≤𝑥1}B.{𝑥|0𝑥≤1}C.{𝑥|−1≤𝑥≤1}D.{𝑥|𝑥1}3.在(√𝑥−𝑥2)𝑛的二项展开式中，若第四项的系数为−7，则𝑛=()A.9B.8C.7D.64.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴=60°，𝐴𝐵=2，且△𝐴𝐵𝐶的面积为√32，则BC的长为()A.√32B.√3C.2√3D.25.在区间[−𝜋,𝜋]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑎𝑥−𝑏2+𝜋有零点的概率为()A.78B.34C.12D.146.如果执行如图所示的程序框图，输出的𝑆=110，则判断框内应填入的条件是()A.𝑘10？B.𝑘≥11？C.𝑘≤10？D.𝑘11？7.已知函数𝑓(𝑥)=√3𝑠𝑖𝑛2𝑥−2𝑐𝑜𝑠2𝑥+1，将𝑓(𝑥)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象，若𝑔(𝑥1)⋅𝑔(𝑥2)=9，则|𝑥1−𝑥2|的值可能为()A.𝜋3B.𝜋2C.3𝜋4D.5𝜋48.△𝐴𝐵𝐶外接圆的半径为1，圆心为O，且2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗，|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|，则𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗等于()第2页，共18页A.32B.√3C.3D.2√39.给出下列说法：①“𝑥=𝜋4”是“𝑡𝑎𝑛𝑥=1”的充分不必要条件；②命题“∃𝑥0∈𝑅，𝑥0+1𝑥0≥2”的否定形式是“∀𝑥∈𝑅，𝑥+1𝑥2”．③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30种．其中正确说法的个数为()A.0B.1C.2D.310.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为()A.√618𝜋B.√69𝜋C.√63𝜋D.√62𝜋11.设双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的左右焦点分别为𝐹1，𝐹2，以𝐹1𝐹2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以𝑂𝐹1(𝑂为坐标原点)为直径的圆与𝑃𝐹2相切，则双曲线C的离心率为()A.√2B.−3+6√24C.√3D.3+6√2712.已知函数𝑓(𝑥)={𝑒𝑥−1𝑥,𝑥0𝑎𝑥+3,𝑥≤0若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑓(𝑥))−2恰有5个零点，且最小的零点小于−4，则a的取值范围是()A.(−∞,−1)B.(0,+∞)C.(0,1)D.(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|𝑥−𝑦|的值为______．14.已知实数x，y满足{𝑦−1≥02𝑥−𝑦−1≥0𝑥+𝑦−𝑚≤0，若𝑥−𝑦的最大值为6，则实数𝑚=______．15.已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=4，若球O的体积为8√6𝜋，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______．16.已知抛物线𝑦2=8𝑥的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆(𝑥−2)2+𝑦2=1于点A，B，C，D四点，则|𝐴𝐵|+4|𝐶𝐷|的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）第3页，共18页17.在数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛𝑎𝑛+1，设𝑏𝑛=1𝑎𝑛，𝑛∈𝑁∗(Ⅰ)求证数列{𝑏𝑛}是等差数列，并求通项公式𝑏𝑛；(Ⅱ)设𝑐𝑛=𝑏𝑛⋅2𝑛−1，且数列{𝑐𝑛}的前n项和𝑆𝑛，若𝜆∈𝑅，求使𝑆𝑛−1≤𝜆𝑐𝑛恒成立的𝜆的取值范围．18.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉(一炉至少15个，至多30个)，当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量(单位：个)，整理得下表日需求量1518212427频数108732(1)根据表中数据可知，频数y与日需求量𝑥(单位：个)线性相关，求y关于x的线性回归方程；(2)以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为𝑋(单位：元)(ⅰ)若日需求量为15个，求X；(ⅰ)求X的分布列及其数学期望相关公式：𝑏̂=∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥−)(𝑦𝑖−𝑦−)∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥−)2=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥−𝑦−∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥−2，𝑎̂=𝑦−−𝑏̂𝑥−19.如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧面𝐴𝐶𝐶1𝐴1⊥底面ABC，𝐴𝐴1=𝐴1𝐶=𝐴𝐶，𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，E，F分别为AC，𝐵1𝐶1的中点．(1)求证：直线𝐸𝐹//平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1；(2)求二面角𝐴1−𝐵𝐶−𝐵1的余弦值．第4页，共18页20.如图，已知椭圆C：的左焦点为F，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为√2−1，离心率为√22，直线l与椭圆C交于不同两点A、𝐵(𝐴、B都在x轴上方)，且．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；(Ⅲ)对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥𝑙𝑛𝑥+2𝑥，𝑔(𝑥)=𝑎(𝑥−1)(𝑎为常数，且𝑎∈𝐑).(1)若当𝑥∈(1,+∞)时，函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图象有且只要一个交点，试确定自然数n的值，使得𝑎∈(𝑛,𝑛+1)(参考数值𝑒32≈4.48，𝑙𝑛2≈0.69，𝑙𝑛3≈1.10，𝑙𝑛7≈1.95)；(2)当𝑥3时，证明：𝑓(𝑥)4(𝑥−3)𝑒𝑙𝑛(𝑥−2)(其中e为自然对数的底数)．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是{𝑥=𝑡𝑦=𝑡+1(𝑡为参数)，曲线C的参数方程是{𝑥=2+2𝑐𝑜𝑠𝜙𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝜙，(𝜑为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l和曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP：𝜃1=𝛼(其中0𝛼𝜋2)与曲线C交于O，P两点，射线OQ：𝜃2=𝛼+𝜋2与直线l交于Q点，若△𝑂𝑃𝑄的面积为1，求𝛼的值和弦长|𝑂𝑃|．第5页，共18页23.已知𝑎0，𝑏0，𝑐0，设函数𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑏|+|𝑥+𝑐|+𝑎，𝑥∈𝑅(Ⅰ)若𝑎=𝑏=𝑐=1，求不等式𝑓(𝑥)5的解集；(Ⅱ)若函数𝑓(𝑥)的最小值为1，证明：1𝑎+𝑏+4𝑏+𝑐+9𝑐+𝑎≥18(𝑎+𝑏+𝑐)第6页，共18页答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：由𝑧(1+𝑖)2=2−𝑖，得𝑧=2−𝑖(1+𝑖)2=2−𝑖2𝑖=(2−𝑖)𝑖2𝑖2=−12−𝑖，∴|𝑧|=√(−12)2+(−1)2=√52，故选：C．2.【答案】B【解析】解：∵全集𝑈=𝑅，集合𝑀={𝑥|𝑦=lg(𝑥2−1)}={𝑥|𝑥−1或𝑥1}，∴𝐶𝑈𝑀={𝑥|−1≤𝑥≤1}，∵集合𝑁={𝑥|0𝑥2}，∴𝑁∩(∁𝑈𝑀)={𝑥|0𝑥≤1}．故选：B．由全集𝑈=𝑅，集合𝑀={𝑥|𝑦=lg(𝑥2−1)}={𝑥|𝑥−1或𝑥1}，先求出𝐶𝑈𝑀，再由集合N能够求出𝑁∩(∁𝑈𝑀)．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，考查运算求解能力，属于中档题．先写出其通项，再令𝑟=3，根据第四项的系数为−7，即可求出n的值．【解答】解：(√𝑥−2−1𝑥)𝑛的二项展开式的通项为𝑇𝑟+1=𝐶𝑛𝑟(−2−1)𝑟𝑥𝑛+𝑟2，∵第四项的系数为−7，∴𝑟=3，∴𝐶𝑛3(−2−1)3=−7，解得𝑛=8，故选：B．4.【答案】B【解析】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴=60°，𝐴𝐵=2，且△𝐴𝐵𝐶的面积为√32，∴12𝐴𝐵⋅𝐴𝐶⋅𝑠𝑖𝑛𝐴=√32，即12×2×𝐴𝐶×√32=√32，解得：𝐴𝐶=1，由余弦定理得：𝐵𝐶2=𝐴𝐶2+𝐴𝐵2−2𝐴𝐶⋅𝐴𝐵⋅𝑐𝑜𝑠𝐴=1+4−2=3，则𝐵𝐶=√3．第7页，共18页故选：B．利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，∵𝑎，b使得函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑎𝑥−𝑏2+𝜋有零点，∴△≥0∴𝑎2+𝑏2≥𝜋试验发生时包含的所有事件是𝛺={(𝑎,𝑏)|−𝜋≤𝑎≤𝜋，−𝜋≤𝑏≤𝜋}∴𝑆=(2𝜋)2=4𝜋2，而满足条件的事件是{(𝑎,𝑏)|𝑎2+𝑏2≥𝜋}，∴𝑠=4𝜋2−𝜋2=3𝜋2，由几何概型公式得到𝑃=34，故选：B．先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑎𝑥−𝑏2+𝜋有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．6.【答案】C【解析】解：由程序可知，该程序是计算𝑆=2+4+⋯+2𝑘=𝑘(2+2𝑘)2=𝑘(𝑘+1)，由𝑆=𝑘(𝑘+1)=110，得𝑘=10，则当𝑘=10时，𝑘=𝑘+1=10+1=11不满足条件，所以条件为𝑘≤10．故选：C．阅读程序框图，可知程序执行的是求从2开始的前k个偶数的和，利用等差数列求和公式求出前k个偶数的和，由和等于110算出k的值，则判断框中的条件可求．本题考查了程序框图，是循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．7.【答案】B【解析】解：函数𝑓(𝑥)=√3𝑠𝑖𝑛2𝑥−2𝑐𝑜𝑠2𝑥+1=√3𝑠𝑖𝑛2𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋6)，将𝑓(𝑥)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得𝑦=2𝑠𝑖𝑛(4𝑥−𝜋6)的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数𝑦=𝑔(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(4𝑥−𝜋6)+1的图象，若𝑔(𝑥1)⋅𝑔(𝑥2)=9，则4𝑥−𝜋6=𝜋2+2𝑘�