数电第一章-逻辑代数基础

第一章逻辑代数基础熟练掌握二、十六进制及其与十进制的相互转换。熟练掌握8421码、BCD的编码方法；了解其它常用的编码方法。熟悉逻辑代数的基本定律与定理。熟练掌握逻辑问题的各种描述方法。熟练掌握逻辑代数的公式化简法，卡诺图化简法。1.1概述1.1.1数字量和模拟量数字信号：该信号的变化在时间上和数量上都是不连续的。跳跃的。采用0和1表示(只能判断有和没有）。把工作在数字信号下的电子电路叫做数字电路。模拟信号：该信号的变化在时间上或数值上是连续的。把工作在模拟信号下的电子电路叫做模拟电路。数字电路优点：数字信号只有“１”和“０”两种，对精度要求不高，使得数字电路工作可靠，并适合于对数字电路进行集成化1.2数制和码制一、数制十进制(D)代码：0，1，～，8，9。逢10进1。权10i。二进制(B)代码：0，1逢2进1权2i。25.13212021212021)01.1011(210123B1.2数值和码制一、数制十六进制(H)代码：0，1，～，8，9，A(10)，B(11)，C(12)，D(13)，E(14)，F(15)。逢16进1。权16i。.94531259730.0039062520625.01511316122563162161516131612163)2.3(21012HFCD1.2数值和码制二、数制转换N进制十进制转换按权展开十进制二进制转换整数：除2取余，依次得到二进制的低位到高位小数：乘2取整，依次得到二进制小数的高位到低位。（54.2）10=（110110.00110…）2运算精度取决于小数点后所取位数。取3位为.001，取4位为.0011，取5位为.0011054211210110110.112121212123216420.554.51.2数值和码制二、数制转换二进制十六进制转换从小数点开始往前或往后4位二进制数转换为1位十六进制数，位数不够前后补0,整数部分往高补，小数部分往低补。十六进制二进制转换从小数点开始往前或往后1位十六进制数转换为4位二进制数，位数不够前后补0，整数部分往高补，小数部分往低补。例：（1110001100101.01）2=（1，1100，0110，0101.0100）=（1C65.4）16（2B5.E）16=（0010，1011，0101.1110）=（1010110101.111）2思考题：八进制，四进制与二进制间的相互转换。1.2数值和码制三、码制什么叫BCD码？P6表1.2说明余3码是其表示值加3余3循环码是循环码加3循环码每次只有一个变量发生变化，避免出现竞争冒险；例题区分8421码和普通的二进制（10011001)2和（10011001）8421（10011001）2=27×1+24×1+23×1+20×1=153（10011001）8421=（99）D=99逻辑代数的三种基本运算逻辑运算：电路系统中只有0和1两种状态，所以信号在进行运算处理时，不是单纯的代数运算（加减乘除），而是逻辑运算介绍3种最基本的：与，或，非模型：输入开关：1闭合、0断开；输出灯：1亮、0暗逻辑代数中的三种基本运算一、与只有决定事物结果的全部条件都同时具备时，结果才发生，这种因果关系叫做逻辑与，又叫逻辑相乘。ABY000010100111BAY逻辑代数中的三种基本运算二、或在决定事物结果的诸条件中只要有任意一个满足，结果就会发生，这种因果关系叫做逻辑或，又叫逻辑相加。ABY000011101111BAY逻辑代数中的三种基本运算三、非若条件具备了，结果就不会发生；条件不具备时，结果一定发生。这种因果关系叫做逻辑非，又叫逻辑求反。AY0110AY复合逻辑运算与非和或非与非或非BAYABY001011101110BAYABY001010100110复合逻辑运算异或和同或异或同或BABAYABY000011101110ABY001010100111BAABY算术运算和逻辑运算比较算术运算逻辑运算符号0、10、1意义0、1表示数值大小事物的两种对立状态运算规则逢2进1，1＋1＝10没有进位（1＋1＋…＋1＝1）基本运算加、减、乘、除与、或、非1.3.4逻辑代数的基本公式和基本定理•基本公式：注意：每个变量只有0、1两个状态；逻辑运算没有进位；所有的公式除了可用其他基本公式证明外，全部可以用真值表证明。0－1律，自等律，等幂律、互补律、分配律、交换律、求反律1.3.4逻辑代数的基本公式和常用公式基本公式求反律-摩根定理互补律BABABABA0AA1AA001111011100101100110000ABBABABABA1.3逻辑代数的基本公式和常用公式1.3.2若干常见公式常用公式9（以小去大）证明：右式AABABAA1)1(常用公式10（以原去非）BABAA常用公式11式（原非消余）CABABCACBACBACBACABAAACBCABACBCABA)1()1()(证明：逻辑代数的基本定理1.代入定理在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。代入定理的应用－－证明反演律的推广代入定理的应用逻辑代数的基本定理2.反演定理（求反）对于任意一个逻辑式，若将其中所有的“∙”换成“+”，“+”换成“∙”，“0”换成“1”，“1”换成“0”,原变量换成反变量，反变量变成原变量，则得到的结果就是。演算规则：先括号、然后乘、最后加，保持原式的运算顺序。不属于单个变量上的反号应保留不变。YY逻辑代数的基本定理反演定理摩根定理是反演定理的一个特例而已，故也称作反演律。例题1CDCBAY逻辑代数的基本定理3对偶定理若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。对偶式：对于任意一个逻辑式，若将其中所有的“∙”换成“+”，“+”换成“∙”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到一个新的逻辑式，这个就叫做的对偶式。或者说和互为对偶式。应用：证明两个逻辑式相等，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成。与反演式的区别：没有单个变量取反。Y'Y'YYY'Y例：求取下列逻辑式Y的和Y'Y1CDCBAY)0()(CDCBAY)0()('CDCBAY补充：建立逻辑函数及其表示方法构建逻辑函数：根据功能构建函数1。以便用电路实现2。分析现有电路的功能关于逻辑函数如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，输出随输入变化。一一对应，是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数，写作：Y=F(A，B，C，…)逻辑函数的常用表达方法：真值表、逻辑函数式、逻辑图（和卡诺图）裁决电路逻辑函数的表达方法一、逻辑真值表（真值表）将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。逻辑函数的表达方法二、逻辑函数式（逻辑表达式）把输出与输入之间的逻辑关系写成与或非等运算式，以便下一步用具体的电路资源来实现功能。注意：函数式不是唯一的即：同一个电路，同一种功能，可能有不同函数表达式。三、逻辑图将函数中各变量之间的运算关系用图形符号表示出来．各种表示方法间的相互转换1、从真值表写出逻辑函数式（应用：设想功能，写出真值表，再转换为函数）先“与”后“或”第一步：使输出为“1”的所有输入的对应逻辑变量相与（变量为1用原变量、变量为0用反变量）。第二步：将上面所得的乘积项相或。注意：函数式不是唯一的，上述方法写出的函数只是其中一种（最小项之和）2、从逻辑式画出逻辑图（应用：把函数用电路来实现）用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。四、各种表示方法间的相互转换3、从逻辑图写出逻辑式（应用：已经有一个实现电路，写出函数式，化简，判断它的功能）从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式ABBABABABABABABABABA))((AB例题写出逻辑函数式并化简成最简与或式逻辑函数式的两种标准形式前提：函数式的形式有很多种，也就是，根据同一个真值表写出来的函数式可以不一样。但彼此之间一定是相等的。一、最小项（任何函数式都可以写成最小项之和）定义变量的个数n=3，最小项个数为2n=8，每一项表示为mi。重要性质：在输入变量的任何取值下有且只有一个最小项的值为1。全体最小项的“或”为1。任意两个最小项的“与”为0。具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。逻辑函数的两种标准形式一、最小项逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的最小项之和形式利用基本公式转换逻辑函数。形式：例子：)7,6,3()7,6,3()(376mimmmmBCAABCCABBCAACABBCCABYii1AAimY1.3.5逻辑函数的公式化简逻辑函数的最简形式定义：在函数式中若其中包含的乘积项已经最少每个乘积项里面的因子也不能再减少时则称此逻辑函数式为最简形式。利用摩根定理，可以实现与-或式与非-与非式。1.3.5逻辑函数的公式化简法常用的化简方法方法公式并项法吸收法消项法消因子法配项法AABACAABBCDCAABAABBCCAABC，BABAA1AAAAA，ABAAB采用公式化简法的要求1.熟悉基本公式和常用公式；2.熟悉化简技巧；3.能准确判断化简结果是否为最简与-或表达式。（对初学者有一定难度）1.3.6逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法一、表示最小项的卡诺图定义特点：循环邻接。在卡诺图中，几何位置相邻的最小项在逻辑上应具有相邻性。二到五变量最小项的卡诺图（a）两变量（A、B）最小项的卡诺图（b）三变量（A、B、C）最小项的卡诺图（c）四变量（A、B、C、D）最小项的卡诺图（d）五变量（A、B、C、D、E）最小项的卡诺图1.3.6逻辑函数的卡诺图表示法二、用卡诺图表示一个逻辑函数把输出的1或0填入卡诺图中相应的最小项的空格1.3.6用卡诺图化简逻辑函数一、合并最小项的规则基本原理：相邻的最小项可以合并。若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子。上下看AB，左右看CD：哪个保持不变就保留，哪个变了就去掉。CDBBCADABDCB1.3.6用卡诺图化简逻辑函数一、合并最小项的规则若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两对因子。CDDBDBBD1.3.6用卡诺图化简逻辑函数一、合并最小项的规则若八个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项井消去三对因子。DA1.3.6用卡诺图化简逻辑函数二、合并最小项的规则画矩形框的原则：①矩形框数量尽可能少,以保证函数式中乘积项最少；②矩形框应复盖卡诺图中所有为1的最小项；③矩形框应尽可能大，以保证函数式的每个乘积项中的因子最少；④矩形框中等于1的最小项数目必须为2的整数次幂；⑤所画的框必须为矩形或正方形。卡诺图化简结果并非唯一说明卡诺图中所有的最小项等于1时，输出等于1。有时也可以通过合并卡诺图中的0先求反函数式，然后再求反，得原函数式；所画的每个矩形框中必须至少有一个格是只圈一次的。否则该乘积项为多余项。在需要将函数化为最简的与或非式时，或者得到Y采用合并0的方式最为适宜；当卡诺图中0数目远小于1时，也可合并0。例题试证明两个逻辑函数的与、或、异或可以通过它们的卡诺图对应的最小项作与、或、异或运算来实现。1.8具有无关项的逻辑函数及其化简1.8.1约束项、任意项和逻辑函数中的无关项当系统定义了某些取值不可能出现时，最小项叫做约束项。如：有些项是1是0皆可，