相似三角形证明的方法与技巧

相似三角形的判定和应用一、判定相似三角形的基本思路:1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。二、相似形的应用：1.证比例式；2.证等积式；3.证直线平行；4.证直线垂直；5.证面积相等；三、经典例题：例1.如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E是AC延长线上任意一点，连接DE与AB交于F，与过A平行于BC的直线交于G。求证：CEAEBFAF.变式1：如图，在ΔABC中，A与B互余，CDAB，DE//BC，交AC于点E，求证：AD:AC=CE:BD.例2：如图：已知梯形ABCD中，AD//BC，90ABC，且BDCD于D。求证：①DCBABD~；②BCADBD2例3.如图，在ΔABC中，90BAC，M是BC的中点，DMBC交BA的延长线于D，交AC于E。求证：MEMDMA2例4.已知：在ΔABC中，AD是BAC的平分线，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且ACABDFED求证：BE//FC。例5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB、AC上一点，切BE=BF，BPCE，垂足为P。求证：PDPF.例6.在ΔABC的中线AD,BE相交于G。求证：ΔAGB的面积等于四边形CEGD。四．课堂练习：1.如图，在ABC△中，ACBC，D是AC边上一点，连接BD．（1）要使CBDCAB△∽△，还需要补充一个条件是（只要求填一个）（2）若CBDCAB△∽△，且2AD，3BC，求CD的长．2.如图，在平行四边形ABCD中，R在BC的延长线上，AR交CD于Q，若DQ∶CQ＝4∶3，求AQ∶QR的值。3.如图，梯形ABCD中，ABCD∥，且2ABCD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M．（1）求证：EDMFBM△∽△；（2）若9DB，求BM．4.如图，△ABC中AB=BD，AD为中线，点E是BD的中点。ABCDDMFCEBAQRPDCBA求证：（1）△ABE∽CBE；（2）求证：AC=2AE5.如图，点D，E分别在ABC△的边BC，BA上，四边形CDEF是等腰梯形，EFCD∥．EF与AC交于点G，且BDEA∠∠．（1）试问：ABFGCFCA成立吗？说明理由；（2）若BDFC，求证：ABC△是等腰三角形．6、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证：FCFBFD27、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。求证：2DCDFDA8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.9、已知：∠A=60°，BD、CE是△ABC的高。（1）△ADE与△ABC相似吗？说明理由。（2）图中共有几对相似三角形？思考：去掉∠A=60°条件以上结论还成立吗？10.M为线段AB的中点，AE与BD交于C，∠DME=∠A=∠B=，且DM交AC于F，ME交BC于G。（1）写出图中相似三角形；（2）连接FG，若=45°，AB=42，AF=3，求FG的长。EDCBAGFEMDCBA