浅谈反证法在中学数学中的应用

目录一反证法的概念二反证法的逻辑依据、种类及步骤（1）反证法逻辑依据（2）反证法种类（3）反证法步骤三中学数学中宜用反证法的适用范围（1）否定性命题（2）限定式命题（3）无穷性命题（4）逆命题（5）某些存在性命题（6）全称肯定性命题（7）一些不等量命题的证明（8）基本命题四运用反证法应该注意的问题（1）必须正确否定结论（2）必须明确推理特点（3）了解矛盾种类浅谈反证法在中学数学中的应用论文摘要本文重点阐明反证法的概念，逻辑依据“矛盾律”和“排中律”，反证法的种类包括归谬法简单归谬法和穷举归谬法，反证法证明的一般步骤（反设、归谬、结论），证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便，否定性命题、限定式命题、无穷性命题、逆命题、某些存在性命题、全称肯定性命题、一些不等量命题的证明、基本命题。运用反证法应该注意的问题，必须正确否定结论、必须明确推理特点、了解矛盾种类。关键词:反证法证明假设矛盾结论有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。一反证法的概念反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。反证法是数学中常用的间接证明方法之一。反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律。通常反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理,推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真。中学代数中,一些起始性命题﹑否定性命题﹑唯一性命题﹑必然性命题﹑结论以“至多……”或“至少……”的形式出现的命题﹑“无限性”的命题﹑一些不等式的证明等用反证法来证明可收到较好的效果。假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法。用框图表示如下：题断反面与临时假设违背前此定理或与前此定理不容本题题设BA矛盾的结果：或与本题题设冲突前此公理或与公理抵触前此定义或自相矛盾注：通过逻辑推理，得到上面5种结果中的任意一个结果都证明原命题的结论是正确的。例1函数)(xf在]1,0[上有意义，且),1()0(ff如果对于不同的]1,0[,21xx都有|,||)()(|2121xxxfxf求证：21|)()(|12xfxf.证明：假定至少存在一组不同的]1,0[,21xx使得21|)()(|12xfxf.（不妨设21xx）由已知条件得|)()0(||)1()(||)1()0()()(||)()(|121212xfffxfffxfxfxfxf|)()(|1||11|0||1|12121212xfxfxxxxxx即1|)()(|212xfxf，21|)()(|12xfxf，这与假设矛盾，假设不成立，因此原命题成立。二反证法的逻辑依据、种类及步骤（1）反证法逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的。排中律常用公式AA来表示，意即A真或A真。其中A和A表示两个互相矛盾的概念或判断。排中律要求人们思维有明确性，避免模柃两可。它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定，不能模柃两可，不能含糊不清。排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一真。排中律是反证法的逻辑基础。当直接证明某一判断的正确性有困难时，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。例如，要证明2不是有理数有困难时，只要证明2是有理数为假就可以了。（2）反证法种类运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。反证法所改证的等价命题的条件包含原命题结论的否定（或反面）。若命题的结论的反面只有一种情况，这种反证法称为归谬法；若命题结论的反面多于一种情况，这种反证法称为穷举法。下面分别研究这两种反证法的逻辑依据。（3）反证法步骤（1）反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件﹑已知的公理﹑定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。例4求证大于1的任何整数一定有质因数。证明：反射：假设至少有一个大于1的证书n没有质因数，即1n且不是质数（因为质数本身是质因数），则n必为合数。归谬：n必有一个不等于n的真因数1n，故11nn，这里1n也必不是质数（否则，n有质因数）；同理，1n也有一个质因数2n，使121nn，2n也必不是质数。依次类推，可得121nnn。这表明，在n与1之间有无限多个不同的整数，这与一个确定的整数n与1之间只能有有限个不同的整数有矛盾。结论：“假定”是错误的，因此，大于1的任何整数一定有质因数。三中学数学中宜用反证法的适用范围反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。（1）否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。例求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。（2）限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。例在半径为5的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于9。证明：每个小圆的公共部分的面积都小于9，而九个小圆共有2936C个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于3649，又大圆面积为5，则九个小圆应占面积要大于945，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于9。例已知方程4430xaxa2，22(1)0xaxa，2220xaxa中至少有一个方程有实数值，求实数a的取值范围。分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件a的集合的补集即可。证明：假设三个方程都无实根，则有：222(4)(43)(1)48aaaaa2＜0＜04a＜0解得32-＜a＜-1∴所求a的范围为312aa或.（3）无穷性命题即涉及各种“无限”结论的命题。例求证：2是无理数。分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。证明：假设2是有理数，则存在baNba,.,且互质，使2222baba，从而，a为偶数，记为ca2，∴224ca，∴222bc，则b也是偶数。由a,b均为偶数与a、b互质矛盾，故2是无理数。例求证：素数有无穷多个。证明：假设素数只有n个：P1、P2……Pn，取整数N=P1·P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。（4）逆命题某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便。例正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。逆命题的证明：如图，若AB+CD＝AD+BC……（1），设四边形ABCD不能有一个内切圆，则可作⊙O与其三边AD、DC、AB相切，而BC与⊙O相离或相交，过C作⊙O的切线交AB或延长线于点E,由正命题知：AE+CD＝AD+CE……（2）.当BC与⊙O相离时，（1）-（2）得AB-AE＝BC－CEBC＝CE+BE，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当BC与⊙O相交时，（2）-（1）得AE-AB＝CE－BCBC＝CE+BE，同样推出矛盾，则BC与⊙O不能相交或离，BC与⊙O必相切，故四边形必有一个内切圆。（5）某些存在性命题例设x，y∈(0,1),求证:对于a,b∈R,必存在满足条件的x,y,使|xy-ax-by|≥31成立.证明：假设对于一切x,y∈〔0,1〕使|xy-ax-by|＜31恒成立，令x=0,y=1,则|b|＜31令x=1,y=0,得|a|＜31令x=y=1,得|1-a-b|＜31但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1-31-31=31产生矛盾,故欲证结论正确。（6）全称肯定性命题即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。例求证:无论n是什么自然数，214143nn总是既约份数。证明：假设214143nn不是既约分数，令214nka（1），143nkb（2）（,,,1kabNk），且ab为既约，由（2）×3-（1）×2得132132kbkabak，因32ba为整数，1k为分数，则132bak不成立，故假设不成立，分数214143nn是既约的。（7）一些不等量命题的证明如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。例已知a、b、c、d∈R，且ad-bc＝1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1。证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd＝1，把ad－bc＝1代入前式得：a2+b2+c2+d2+ab+bc-ad+cd＝0即（a+b）2+（b+c）2+（c+d）2+（a-d）2＝0∵a、b、c、d∈R∴a+b＝b+c＝c+d＝a-d＝0∵a＝b＝c＝d，从而ad-bc＝0与ad-bc＝1矛盾.故假设不成立，原命题成立.例在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC.分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明。证明：假设AB不大于AC，即AB≤AC，下面就AB＜AC或AB＝AC两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.（1）若AB＝AC，则△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，与已知∠C＞∠B矛盾.（2）若AB＜AC，在AB延长线上取一点D，使得AD=AC，连接DC.∵AD=AC∴△ADC为等腰三角形∴∠ADC＝∠ACD，又∵∠ABC为△ABD的一个外角∴∠ABC＞∠BDC＝∠ACD而∠ACD＞∠ACB＝∠C∴∠ABC＞∠C即∠B＞∠C，与已知矛盾.∴假设不成立，原命题成立.（8）基本命题即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易