5-从力做的功到向量的数量积

§5.1从力做的功到向量的数量积（1）向量的数量积——说课稿各位评委大家好：我叫李善斌，来自瀛湖中学。今天我说课的课题是《从力做的功到向量的数量积》（第一课时）。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，下面从教材分析、教学目标分析、教学重难点分析、教法与学法、课堂设计五方面逐一加以分析和说明一、教材分析（一）教材的地位和作用平面向量的数量积是普通高中课程标准实验教科书北师大版《必修4》的第二章第五节内容。平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的重要工具，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。也是高中数学的一个重要概念，是全章的中点内容(二)、学情分析前面已经学习了向量的概念及其基本线性运算，这里教材以物体受力做功为载体引入一种新的向量运算———向量的数量积。这样既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，也使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关（三）、教学目标分析1、知识与技能：以物理中功等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与向量射影的关系，掌握平面向量数量积运算的重要性质。2、过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。培养其探索精神和实际动手能力。3、情感、态度与价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发展到论证过程，进一步感悟数学的本质，培养学生的探索研究的能力。（四）、教学重难点分析重点：平面向量数量积的概念及其公式、用平面向量数量积表示向量的模及夹角。难点：平面向量数量积与投影的关系及运算律的理解，平面向量数量积的应用。重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破二、说教学方法教法分析：通过情景导入——激发情感，引起兴趣；提问法-------逐步引导，逐渐深入。点拨法-------展开联想，拓展思路。主要通过启发式教学的方法开展教学学法分析1讨论法------积极参与，总结规律。2自主探究法-----学生实践，巩固提高。3悬念法----带着问题，巩固提高。三、说教学过程（教学过程分析）（一）、第一环节：情景引入,揭示主题1、复习引入问题一：前面学习了两个非零向量的加减运算、实数与向量的积，那么非零向量还有哪些运算呢？设计意图：利用已有的知识与经验在问题情景的条件下同化和索引出新知，便于知识的保持和迁移，让学生产生强烈的问题意识，使学习的整个过程成为猜想、惊讶、困惑、紧张的思考，期待问题的解决，同时也使学生体会到数学的完美性。2、创设情境，激发兴趣情景一：一只猴子捡到一把钝刀，连小树叶砍不断，于是他向砍柴人请教，砍柴人说，把刀放在石头上磨一磨，于是猴子高兴的回去了，立刻把刀放在一块石头上拼命的磨，直到它发现刀口和刀背差不多厚了，才停下来……结果当然是失败的，难道猴子没有做功吗？不！但是做功≠成功，物理学中的做功在数学上叫什么？又是如何表示的呢？3、创设情境，接触主题如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（1）力F所做的功W=。（2）请同学们分析这个公式的特点：：（3）F与S都是什么量？（4）由公式计算的结果W是什么量？（5）表示什么？设计意图：在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。向量数量积的定义：（二）、第二环节：师生互动,探究新知任务一：探究向量间的夹角1、在平面中如何研究两个非零向量的位置关系？2、什么叫向量a与b的夹角？bbaaabaaaabbbbSF3、a与b垂直应满足什么条件？老师给出两非零向量夹角的定义已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。当00时，a与b同向，当0180，a与b方向；当00时我们说a与b垂直，记作：ab由于零向量的方向是不确定的，为今后方便起见，我们规定零向量可与任一向量垂直让学生准确的知道两非零向量夹角的定义概念的抽象问题：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？设计意图：学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，我进一步明晰数量积的概念。两向量数量积定义：,cos=cosababababab向量与向量他们的夹角为。我们把数量叫做向量的数量积（内积），记作:即我们该注意什么？注意：对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，两个向量的数量积是一个数量，而且这个数量与两个向量的长度和它们的夹角有关。例1、（师生共同完成）已知3a，4b,a与b的夹角为0150，求·设计意图：通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。任务二：探究向量数量积的几何意义我首先给出给出向量投影的概念。如图，我们把cosb（cosa）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：1cosOBb注：投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|。a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度│a│与b在a方向上的投影│b│cosθ的乘积。或者（略）（物理意义；就是力Ｆ与其作用下物体的位移S的数量积F·S）【设计意图】在定义中提炼出投影的概念，通过几何意义，对向量数量积定义进行进一步认知。请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。31,2(1)//,;(2),4abababab例2：已知求求任务三：探究向量数量积的性质和运算律1、性质的发现教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述例题后，我不失时机地提出性质设计意图:在学生讨论交流的基础上，学生进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。2、明晰数量积的性质(1)、若e是单位向量，则coseaaea（2）、若ab则0ab；反之若0ab，则ab。通常记作0abab（3）、aaa；（4）、cos(0)ababab（5）、对任意两个向量a,b有//ababab当且仅当时等号成立3、性质的证明（学生完成）设计意图：这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。任务四：探究数量积的运算律1、运算律的发现关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题问题：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？设计意图：通过此问题主要是想使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律。2、明晰数量积的运算律学生可能会提出以下猜测：cbcacbababababaabba)3()2()1(3、证明运算律；学生独立证明运算律设计意图：在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。（三）、第三环节：学习致用,课后延伸例2.已知向量a，b,求证下列各式222221)2(2)()()abaabbababab（）(例3：（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4,a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b），练习：P93练习1第1、2题设计意图：学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。归纳总结、布置作业对本节课所学知识进行归纳总结1.平面向量数量积的概念和公式2.平面向量数量积的几何意义和性质3.投影的公式和性质【设计意图】在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对平面向量数量积和投影的理解与运用。培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体系。布置作业：1、课本P95习题2.—4A组1——5题四、板书设计（略）五、教学评价设计评价方式的转变是新课程改革的一大亮点，课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行：1、通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。3、通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。