北京朝阳高三数学期末试题

高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com1北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题数学（理）2012.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知平面向量(3,1)a，(,3)xb，且a⊥b，则实数x的值为（）A．9B．1C．1D．92.设集合U=1,2,3,4，25M=xUxx+p=0，若2,3UCM=，则实数p的值为()A．4B．4C．6D．63.设数列na是公差不为0的等差数列，11a且136,,aaa成等比数列，则na的前n项和nS等于（）A．2788nnB．2744nnC．2324nnD．2nn4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．1C．2D．05.已知函数()sin3cosfxxx，设()7af，()6bf，()3cf，则,,abc的大小关系是（）A.abcB.cabC.bacD.bca6.函数2()2xfxax的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（）A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com27.已知正方形ABCD的边长为22，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如图所示的三棱锥BACD．若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点（不包括端点），且BNCM.设BNx，则三棱锥NAMC的体积()yfx的函数图象大致是（）A．B．C．D．8.已知集合{(,)|,,}AxyxnynabnZ,{(,)|,Bxyxm2312,ymmZ}.若存在实数,ab使得AB成立,称点(,)ab为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}Cxyxy内的个数是()A.0B.1C.2D.无数个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有辆.AADABANAMAOACA时速（km/h）0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆010新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆020新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆030新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆04组距4050607080频率O高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com310．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是.11.在平面直角坐标系中,不等式组0,40,xyxyxa所表示的平面区域的面积是9,则实数a的值为.12.设直线10xmy与圆22(1)(2)4xy相交于A，B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是.13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y（万元）与机器运转时间x（年数，xN）的关系为21825yxx.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元.14.已知两个正数,ab,可按规则cabab扩充为一个新数c,在,,abc三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若1,3ab,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若0pq，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnqp（,mn为正整数），则,mn的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本题满分13分）在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足32sin0abA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若5ac，且ac，7b，求ABAC的值．主视图俯视图323222侧视图高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com416.（本题满分13分）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)ab（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．17.（本题满分13分）如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD．底面ABCD为矩形，2,3ADaABa，SASDa．（Ⅰ）求证：CDSA；（Ⅱ）求二面角CSAD的大小.18.（本题满分13分）已知函数1()ln(1)1xfxaxx（0x，a为正实数）.（Ⅰ）若1a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若函数()fx的最小值为1，求a的取值范围.553232A高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com519.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，直线l过点(4,0)A，(0,2)B，且与椭圆C相切于点P.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得23635APAMAN?若存在，试求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.20.（本题满分14分）数列{}na，{}nb（1,2,3,n）由下列条件确定：①110,0ab；②当2k时，ka与kb满足：当011kkba时，1kkaa,211kkkbab；当011kkba时，211kkkbaa，1kkbb.（Ⅰ）若11a，11b，写出234,,aaa，并求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）在数列}{nb中，若sbbb21(3s,且*sN)，试用11,ba表示kb},,2,1{sk；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{nc(*)nN满足211c，0nc，2212mnnnmcccma(其中m为给定的不小于2的整数)，求证：当mn时，恒有1nc.高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com6参考答案2012.1一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CBADBCBA二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案8033133582558,13三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为32sin0abA，所以3sin2sinsin0ABA，„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分因为sin0A，所以23sinB.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分又B为锐角，则3B.„„„„„„„„„„„„„„„„„5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B．因为7b，根据余弦定理，得2272cos3acac，„„„„„„„„„„„„„„„7分整理，得2()37acac．由已知5ac，则6ac．又ac，可得3a，2c．„„„„„„„„„„„„„„„9分于是2227497cos21447bcaAbc，„„„„„„„„„„11分所以7coscos27114ABACABACAcbA．„„„„„13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A：某个家庭得分情况为(5,3)．111()339PA．所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为19．„„„„„„„„„„„„4分（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com7共3类情况．所以1111111()3333333PB．所以某个家庭获奖的概率为13．„„„„„„„„„„„„„„„„8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是13，所以1~(5,)3XB．00551232(0)()()33243PXC，11451280(1)()()33243PXC，22351280(2)()()33243PXC，33251240(3)()()33243PXC，44151210(4)()()33243PXC，5505121(5)()()33243PXC.„„„„„„„„„„„„„11分所以X分布列为：X012345P32243802438024340243102431243所以15533EXnp．所以X的数学期望为53．„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分（17）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为平面SAD平面ABCD，CDAD，且面SAD面ABCDAD，所以CD平面SAD.又因为SA平面SAD所以CDSA．„„„„„„„„„„„„„„„„„6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CDSA.在SAD中，SASDa，2ADa，高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com8所以SASD，所以SA平面SDC.即SASD，SASC,所以CSD为二面角CSAD的平面角．在RtCDS中，3tan3CDaCSDSDa，所以二面角CSAD的大小3．„„„„„„„„„„„„„„13分法二：取BC的中点E,AD的中点P．在SAD中，SASDa，P为AD的中点，所以，SPAD．又因为平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD所以，SP平面ABCD．显然，有PEAD．„„„„„„„„„„„„1分如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PE为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则2(0,0,)2Sa，2(,0,0)2Aa，2(,3,0)2Baa，2(,