高三数学二轮复习专题一第五讲导数课件人教版

战考场第5讲导数知考情研考题析考向高频考点考情解读考查方式利用导数求解曲线的切线问题考查求过某点的切线的斜率、方程、切点的坐标，或以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值题型以选择题、填空题为主利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题各种题型高频考点考情解读考查方式利用导数研究函数的极值与最值导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，常与函数、方程、不等式等交汇命题多以解答题形式出现定积分一般考查定积分的直接运算及定积分在几何或物理中的应用多以选择题、填空题形式出现[联知识串点成面]导数的几何意义：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．[做考题查漏补缺](2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x＞0)的图像上的动点，该图像在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．[解析]设点P的坐标为(x0，e0x)，则切线l的方程为y－e0x＝e0x(x－x0)，则过点P作l的垂线m的方程为y－e0x＝－1e0x(x－x0)，令x＝0，得M(0，e0x－x0e0x)，N(0，e0x＋x01e0x)，所以t＝e0x＋x02e0x－x0e0x2，得t′＝(1－x0)(e0x2＋12e0x)，令t′＝0，得x0＝1，当0＜x0＜1时，t′＞0，t＝e0x＋x02e0x－x0e0x2单调递增；当x0＞1时，t′＜0，t＝ex0＋x02e0x－x0e0x2单调递减，所以当x0＝1时，t取最大值，为12(e＋1e)．[答案]12(e＋1e)1．(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15答案：C解析：y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.答案：2解析：据题意设切点为(x0，x0＋1)，由于f′(x)＝1x＋a，由导数的几何意义可知1x0＋a＝1，lnx0＋a＝x0＋1，解得x0＝－1，a＝2.2．(2011·大连模拟)已知直线y＝x＋1与曲线f(x)＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．[悟方法触类旁通]求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率．列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.[联知识串点成面]函数的单调性与导数的关系：在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．[做考题查漏补缺](2011·广东高考)设a＞0，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．[解]由题知a＞0，x＞0，f′(x)＝2a1－ax2－21－ax＋1x，令g(x)＝2a(1－a)x2－2(1－a)x＋1，(1)当a＝1时，g(x)＝1＞0，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)当0＜a＜1时，g(x)的图像为开口方向向上的抛物线，Δ＝[－2(1－a)]2－8a(1－a)＝4(1－a)(1－3a)若13≤a＜1，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，仅当a＝13，x＝32时取等号，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若0＜a＜13，则Δ＞0，令g(x)＝0解得x1＝1－a－1－a1－3a2a1－a＞0，x2＝1－a＋1－a1－3a2a1－a＞0，且x1＜x2，当0＜x＜x1或x＞x2时，g(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x1＜x＜x2时，g(x)＜0，f′(x)＜0，f′(x)单调递减．(3)当a＞1时，g(x)的图像为开口方向向下的抛物线，且Δ＞0，令g(x)＝0，解得x1＝1－a－1－a1－3a2a1－a＞0，x2＝1－a＋1－a1－3a2a1－a＜0，当0＜x＜x1时，g(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞x1时，g(x)＜0，f′(x)＜0，f(x)单调递减，综上，当0＜a＜13时，f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减；当13≤a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞1时，f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，＋∞)上单调递减．其中x1＝1－a－1－a1－3a2a1－a，x2＝1－a＋1－a1－3a2a1－a.3．(2011·通州模拟)设函数f(x)＝x(ex－1)－12x2，则函数f(x)的单调增区间为________．[答案](－∞，－1]和[0，＋∞)解析：因为f(x)＝x(ex－1)－12x2，所以f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)·(x＋1)．令f′(x)0，即(ex－1)(x＋1)0，解得x∈(－∞，－1)或x∈(0，＋∞)．所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1]和[0，＋∞)．4．(2011·临沂期末)已知x＝3是函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)∵f(x)＝aln(x＋1)＋x2－10x，∴f′(x)＝a1＋x＋2x－10.∴f′(3)＝a4＋6－10＝0.∴a＝16.(2)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，由(1)知，f′(x)＝2x2－4x＋31＋x，令f′(x)＝0，得x＝1或3.当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时f′(x)0；当x∈(1,3)时，f′(x)0.∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)和(3，＋∞)．f(x)的单调递减区间为(1,3)．5．(2011·北京东城)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′(23)．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝23时，得a＝f′(23)＝3×(23)2＋2a×(23)－1，解之，得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋13)(x－1)，列表如下：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗有极大值↘有极小值↗所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－13，1)．(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数g(x)在区间x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．[悟方法触类旁通]利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.[联知识串点成面]1．若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．2．设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．[做考题查漏补缺](2011·江西高考)设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.(1)若f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．[解](1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－12)2＋14＋2a，当x∈[23，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′(23)＝29＋2a；令29＋2a＞0，得a＞－19.所以，当a＞－19时，f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间．(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝1－1＋8a2，x2＝1＋1＋8a2.所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，又f(4)－f(1)＝－272＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－403＝－163.得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝103.6．(2011·皖南八校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′(23)＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解之得x1＝－2，x2＝23.当x变化时，y，y′的取值及变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2(－2，23)23(23，1)1y′＋＋0－0＋＋y8↗13↘9527↗4∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.7．(2011·福州模拟)设函数f(x)＝lnx－ax.(1)求函数f(x)的极值点；(2)当a0时，恒有f(x)≤－1，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)＝lnx－ax，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－axx，当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上无极值点；当a0时，由f′(x)＝0，得x＝1a∈(0，＋∞)，f′(x)，f(x)随自变量x的变化情况如下表x0，1a1a1a，＋∞f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘从上表可以看出，当a0时，f(x)有唯一的极大值点x＝1a.(2)当a0时，f(x)在x＝1a处取得极大值f1a＝－lna－1，此极大值也是最大值．要使f(x)≤－1恒成立，只需f1a＝－lna－1≤－1，∴a≥1.∴a的取值范围是[1，＋∞)．[悟方法触类旁通]1.利用导数研究函数的极值的一般步骤(1)确定定义域．(2)求导数f′(x)．(3)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的