朝阳区20092010学年第一学期期末高二年级数学学科试卷理科

朝阳区2009-2010学年第一学期期末高二年级数学学科试卷（理科）2010．1（考试时间100分钟；卷面总分100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．倾斜角为45，在y轴上的截距为1的直线方程是（）A．01yxB．01yxC．01yxD．01yx2．命题“存在点00(,)Pxy，使220010xy成立”的否定是．（）A．不存在点00(,)Pxy，使220010xy成立B．存在点00(,)Pxy，使220010xy成立C．对任意的点(,)Pxy，使2210xy成立D．对任意的点(,)Pxy，使2210xy成立3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为22，那么这个几何体的体积为（）．A．13B．23C．43D．834．下列四个命题中，正确的是（）A．与同一个平面平行的两条直线平行B．垂直于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一个平面的两个平面平行D．与同一直线平行的两个平面平行5．已知空间向量=(,1,-2)a，=(,1,1)b，则1是ab的（）正视图侧视图俯视图A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．如图，在正方体1111ABCDABCD各棱所在的直线中，与直线AB异面的有（）条A．2B．4C．6D．87．在极坐标系中，直线cos1与曲线4cos相交于A、B两点，O为极点，则∠AOB的大小为（）A．60B．90C．120D．1508．若双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为xy23，则双曲线的离心率为（）A．72B．32C．12D．29．在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC,12AA,则异面直线1BC与1AB的所成角的余弦值为（）A．23B．45C．122.2D10．已知椭圆22221(0)xyabab的长轴长是短轴长的2倍，斜率为1的直线l与椭圆相交，截得的弦长为正整数的直线l恰有3条，则b的值为（）A．22B．2C．32D．62二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．已知椭圆两个焦点的坐标分别是1,0，1,0，并且经过点(2,0)，它的标准方程为．12．圆C:1cos,sin.xy（为参数）的圆心坐标是；若直线10axy与圆C相切，则a的值为．13．如图，已知三棱柱111ABCABC的侧棱长与底面边长都等于1，1A在底面ABC上的射影D为BC的中点，则侧棱1AA与底面ABC所成角的大小为，此三棱柱的体BCBCA111ADDCC1D1BAB1A1积为．14．设P为椭圆1422yx上任意一点，O为坐标原点，F为椭圆的左焦点，点M满足)(21OFOPOM，则MFOM．15．对直线,mn和平面,，有下列四个命题：①若//,,mnmn，则//②若,,mmnn，则//③若//,mm，则④若//,mnm，则n．其中正确的命题的序号为．16．OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线，点P到这三条直线的距离分别为10,a,b，则OP37,则22ab______。三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A、C的坐标分别是A（-2，3）、C（2，1）．（1）求以线段AC为直径的圆E的方程；（2）若B点的坐标为（-2，-2），求直线BC截圆E所得的弦长．18．（本题满分12分）三棱柱111ABCABC中,90ABC,1BB底面ABC,D为棱AC的中点，E为棱11AC的中点，且11ABBCBB．ECABDOxy(1)求证：CE∥平面1BAD．(2)求二面角1ABDC的余弦值．(3)棱1CC上是否存在一点P，使PD平面1ABD,若存在，试确定P点位置，若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的顶点在原点，其焦点F在x轴的正半轴上，过点F作x轴的垂线与W交于A、B两点，且点A在第一象限，|AB|=8，过点B作直线BC与x轴交于点T(t，0)(2)t,与抛物线交于点C．（1）求抛物线W的标准方程；（2）若t=6，曲线G：042222ayaxyx与直线BC有公共点，求实数a的取值范围；（3）若222||||||OBOCBC,求△ABC的面积的最大值．BAOCxyTFDEA1C1CBAB1北京市朝阳区高二年级数学期末试卷答案（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．B2．C3．C4．B5．A6．B7．C8．A9．B10．C二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．22143xy12．(1,0),0(每空2分)13．6，38(每空2分)14．215．③④（写出一个正确结果2分，多选错选不给分）16．64三、解答题：本大题共3小题，共36分．17．（本题满分10分）（1）解：AC的中点E(0,2)即为圆心半径2211||42522rAC所以圆E的方程为22(2)5xy……．4分（2）直线BC的斜率为34,BC的方程为31(2)4yx即3420xy点E到直线BC的距离为|82|25d……．8分所以BC截圆E所得的弦长为22522．……．10分18．（本题满分12分）解：方法一：（1）因为E、D分别是11AC和AC的中点，则1AECD且1AECD，则CE∥1AD……．2分，而CE平面1BAD，1AD平面1BAD，则CE∥平面1BAD……4分（2）因为1BB平面ABC，故1AA平面ABC，所以1AABD又1ABBC且D为AC的中点，故BDAC，而1AAACA,11BDAACC平面所以1ADBD，ADBD故1ADA为所求二面角1ABDC的平面角的补角．……6分在1RtAAD中，221261()22AD所以113cos3ADADAAD故所求二面角的余弦值为13cos()3ADA……8分（3）P为1CC中点时，即12PC，PD平面1ABD。因为111tan222AAADAAD，所以112tantan2122ADAPDC即190ADAPDC，即190ADP，即1PDAD……10分由（2）知，BD平面11AACC，PD平面11AACC所以BDPD，又1BDADD．所以PD平面1ABD．……12分方法二：（1）以B为坐标原点，射线BC为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Bxyz(0,1,0)A，(1,0,0)C，11(,,0)22D，1(0,0,1)B，1(0,1,1)A,1(1,0,1)C,11(,,1)22E设平面1ABD的一个法向量1n=(,,)xyzn又111(0,1,1)(,,0)22BABD100BABD111nn令1x可得(1,1,1)1n1n……2分11(,,1)22CE，0CE1n又因为CE平面1ABD,故CE∥平面1BAD．……4分（2）又平面BDC的一个法向量为(0,0,1)2n，平面1ABD的一个法向量(1,1,1)1n……6分设二面角1ABDC的大小为，可知为钝角，XDEA1C1CBAB1Zy故||3cos||||31212nnnn112nnn……8分(3)设(1,0,)Pz则11(,,)22DPz……9分要使PD平面1ABD，则需100DPBDDPBA……10分可得12z，故1(1,0,)2P即当P是1CC的中点时，所以PD平面1ABD．……12分19．（本题满分14分）解：（1）设抛物线的方程为22ypx，（0p）令2px，得22yp所以2||8pAB抛物线的方程为28yx．……4分（2）若t=6即(6,0)T,又(2,4)B，则直线BC的方程为60xy……5分曲线G：22()(2)4xay,是以(,2)a为圆心，2为半径的圆……6分由题意|26|22a，解得822822a．……8分（3）直线BT的方程为4()2yxtt，代入抛物线方程28yx，得：2222(4)20xtxt因为2,t所以4222816(4)0ttt．……9分因为2x是这个方程的一个根，设(,)CCCxy根据韦达定理22Cxt，所以22Ctx再由抛物线方程可得2Cyt，即点2(,2)2tCt．……10分因为222||||||OBOCBC，所以∠BOC为钝角或直角所以0OBOC,即240CCxy，280tt，且t2，解得28t．……12分ABC的面积ABCS21||(2)282CABxt所以当8t时，ABCS最大值为120．……．14分