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1阅读理解与新概念题05阅读理解与新概念题1.[2018·日照]定义一种对正整数n的“F”运算:①当n是奇数时,F(n)=3n+1;②当n为偶数时,F(n)=𝑛2𝑛其中k是使𝑛2𝑛为奇数的正整数,…,两种运算交替重复进行.例如,取n=24,则运算过程如图ZT5-1.图ZT5-1若n=13,则第2018次“F”运算的结果是()A.1B.4C.2018D.420182.[2018·永州]对于任意大于0的实数x,y,满足:log2(x·y)=log2x+log2y,若log22=1,则log216=.3.[2018·遂宁]请阅读以下材料:已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足下列条件:①|𝑛|=√𝑛12+𝑛12;|𝑛|=√𝑛22+𝑛22;②a⊗b=|𝑛|×|𝑛|cosα(角α的取值范围是0°α90°),③a⊗b=x1x2+y1y2.利用上述所给条件,解答下列问题:已知a=(1,√3),b=(-√3,3),求角α的大小.解:∵|𝑛|=√𝑛12+𝑛12=√12+(√3)2=2,|𝑛|=√𝑛22+𝑛22=√(-√3)2+32=√12=2√3,∴a⊗b=|𝑛|×|𝑛|cosα=2×2√3cosα=4√3cosα.又∵a⊗b=x1x2+y1y2=1×(-√3)+√3×3=2√3,∴4√3cosα=2√3.∴cosα=12.2∴α=60°.∴角α的值为60°.请仿照以上解答过程,完成下列问题:已知a=(1,0),b=(1,-1),求角α的大小.4.[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,函数y=𝑛𝑛(x0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=14x+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.(1)求k的值.(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为W.①当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数;②若区域W内恰有4个整点,结合图象,求b的取值范围.35.[2018·荆州]探究函数y=x+1𝑛(x0)与y=x+𝑛𝑛(x0,a0)的相关性质.(1)小聪同学对函数y=x+1𝑛(x0)进行了如下列表、描点(图ZT5-2),请你帮他完成连线的步骤;观察图象可得它的最小值为,它的另一条性质为.x…1413121322523…y…174103522136522910103…图ZT5-2(2)请用配方法求函数y=x+1𝑛(x0)的最小值.(3)猜想函数y=x+𝑛𝑛(x0,a0)的最小值为.6.[2018·江西]小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程:4求解体验(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1,0),则b=,顶点坐标为,该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线的表达式是.抽象感悟我们定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),以y轴上的点M(0,m)为中心,作该抛物线关于点M对称的抛物线y',则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”,点M为“衍生中心”.(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为y',若这两条抛物线有交点,求m的取值范围.问题解决(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0).①若抛物线y的衍生抛物线为y'=bx2-2bx+a2(b≠0),两条抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求a,b的值及衍生中心的坐标;②若抛物线y关于点(0,k+12)的衍生抛物线为y1,其顶点为A1;关于点(0,k+22)的衍生抛物线为y2,其顶点为A2;…;关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为yn,其顶点为An;…(n为正整数).求AnAn+1的长(用含n的式子表示).图ZT5-357.[2018·北京]对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记为d(M,N).已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).(1)求d(点O,△ABC).(2)记函数y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围.(3)☉T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(☉T,△ABC)=1,直接写出t的取值范围.8.[2017·义乌]定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(1)如图ZT5-4①,在等腰直角四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°.①若AB=CD=1,AB∥CD,求对角线BD的长;②若AC⊥BD,求证:AD=CD.(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点,且BP=2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使6四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.图ZT5-4参考答案1.A[解析]根据题意,第1次:当n=13时,F①=3×13+1=40;第2次:当n=40时,F②=4023=5;第3次:当n=5时,F①7=3×5+1=16;第4次:当n=16时,F②=1624=1;第5次:当n=1时,F①=3×1+1=4;第6次:当n=4时,F②=422=1,…,从第4次开始,每2次运算循环一次,因为(2018-3)÷2=1007……1,第2018次“F运算”的结果是1.故选A.2.4[解析]根据条件中的新定义,可将log216化为log2(2×2×2×2)=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4.3.解:∵a=(1,0),b=(1,-1),∴|𝑛|=√𝑛12+𝑛12=√12+02=1,|𝑛|=√𝑛22+𝑛22=√12+(-1)2=√2,∴a⊗b=|𝑛|×|𝑛|cosα=1×√2·cosα=√2cosα,又∵a⊗b=x1x2+y1y2=1×1+0×(-1)=1,∴√2cosα=1.∴cosα=√22.∴α=45°,即角α的值为45°.4.解:(1)∵函数y=𝑛𝑛(x0)的图象经过点A(4,1),∴1=𝑛4.解得k=4.(2)①如图所示,由图可知区域W内的整点有3个,分别为(1,0),(2,0),(3,0).②由①可知,当直线BC过点(4,0)时,b=-1;当直线BC过点(5,0)时,54+b=0,b=-54.此时,区域W内的整点有4个,分别为(1,0),(2,0),(3,0),(4,0).结合函数图象知-54≤b-1.当直线BC过点(1,2)时,14+b=2,b=74.当直线BC过点(1,3)时,14+b=3,b=114.此时,区域W内的整点有4个,分别为(1,1),(2,1),(3,1),(1,2).结合函数图象知74b≤114.综上,-54≤b-1或74b≤114.85.解:(1)连线略.y的最小值为2;由图象可知当0x1时,y随x的增大而减小;当x1时,y随x的增大而增大.(2)y=x+1𝑛=(√𝑛)2+1√𝑛2=√𝑛-1√𝑛2+2,令√𝑛=1√𝑛,解得x=1.∴当x=1时,y取得最小值,最小值为2.(3)类比上问可得y=x+𝑛𝑛=(√𝑛)2+√𝑛𝑛2=√𝑛-√𝑛𝑛2+2√𝑛,令√𝑛=√𝑛𝑛,解得x=√𝑛.∴当x=√𝑛时,y取得最小值2√𝑛.6.解:(1)-4(-2,1)y=(x-2)2+1【提示】把(-1,0)代入y=-x2+bx-3,得0=-1-b-3.∴b=-4.∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3,利用顶点坐标公式求出顶点坐标为(-2,1).点(-2,1)关于(0,1)成中心对称的点的坐标为(2,1),∵中心对称是绕旋转中心旋转180°,∴新抛物线的解析式为y=(x-2)2+1.(2)y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,∴顶点坐标为(-1,6).∵点(-1,6)关于(0,m)的对称点为(1,2m-6),∴衍生抛物线为y'=(x-1)2+2m-6.则-(x+1)2+6=(x-1)2+2m-6,9化简,得x2=-m+5.∵这两条抛物线有交点,∴-m+5≥0,m≤5.(3)①y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b,顶点坐标为(-1,-a-b),y'=bx2-2bx+a2=b(x-1)2-b+a2,顶点坐标为(1,-b+a2),∵两交点恰好是顶点,∴{-𝑛+𝑛2=𝑛(1+1)2-𝑛-𝑛,-𝑛-𝑛=𝑛(-1-1)2-𝑛+𝑛2,解得{𝑛=3,𝑛=-3.∴顶点坐标分别为(-1,0)和(1,12).∵(-1,0),(1,12)关于衍生中心对称,∴衍生中心为(0,6).②顶点(-1,-a-b)关于点(0,k+1)的对称点A1(1,2k+2+a+b);顶点(-1,-a-b)关于点(0,k+4)的对称点A2(1,2k+8+a+b);顶点(-1,-a-b)关于点(0,k+n2)的对称点An(1,2k+2n2+a+b);顶点(-1,-a-b)关于点(0,k+(n+1)2)的对称点An+1(1,2k+2(n+1)2+a+b);10∴AnAn+1=2(n+1)2-2n2=4n+2.7.解:(1)如图①,可知点O到△ABC的最小距离为2,即原点(0,0),(-2,0)(或(0,-2))两点间的距离,故d(点O,△ABC)=2.(2)如图①,直线y=kx(k≠0)经过原点,在-1≤x≤1范围内,函数图象为线段.当y=kx(-1≤x≤1,k≠0)经过(1,-1)时,k=-1,此时,d(G,△ABC)=1;当y=kx(-1≤x≤1,k≠0)经过(-1,-1)时,k=1,此时,d(G,△ABC)=1.∴-1≤k≤1.又∵k≠0,∴-1≤k≤1且k≠0.(3)如图②,☉T与△ABC的位置分三种情况讨论如下:①若☉T位于△ABC的左侧,易知当t=-4时,d(☉T,△ABC)=1.②若☉T位于△ABC的内部,点T与点O重合时,有d(☉T,△ABC)=1;点T与点T3重合时,过点T3作T3M⊥AC于M,当T3M=2时,有d(☉T,△ABC)=1,此时T3O=4-2√2.故0≤t≤4-2√2.③若☉T位于△ABC的右侧,由②可知,当d(☉T,△ABC)=1时,t=4+2√2.11综上,符合条件的t的取值范围是t=-4或0≤t≤4-2√2或t=4+2√2.8.解:(1)①∵AB=CD=1,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形.又∵∠ABC=90°,∴菱形ABCD是正方形.∴BD=√12+12=√2.②证明:如图①,连接AC,BD.∵AB=BC,AC⊥BD,∴∠ABD=∠CBD.又∵BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AD=CD.(2)若EF与BC垂直,则AE≠EF,BF≠EF,∴四边形ABFE不是等腰直角四边形,故不符合条件.若EF与BC不垂直,①当AE=AB时,如图②,此时四边形ABFE是等腰直角四边形,∴AE=AB=5.②当BF=AB时,如图③,此时四边形ABFE是等腰直角四边形,∴BF=AB=5.∵DE∥BF,BP=2PD,∴BF∶DE=2∶1.∴DE=2.5,∴AE=9-2.5=6.5.综上所述,满足条件的AE的长为5或6.5.12