向量技巧：等和线

等和线定理一、等和线定理（1）平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦。OCOBOA1CBA、、（2）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平OBOA,OPOBOAOP行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平k行的直线称为等和线。1.当等和线恰为直线AB时，k等于12.当等和线在O点和直线AB之间时，)1,0(k3.当直线AB在O点和等和线之间时，),1(k4.当等和线经过O点时k等于0，5.若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数6.定值k的变化与等和线到O点的距离成正比二、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。三、解题步骤1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；利用等和线求向量积例题精讲例1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若BE→＝λBA→＋μBD→(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD中，13AEAB,14AFAD,CE与BF相交于G点，记ABa,ADb,则AG_______例4在△ABC中，D是△ABC所在平面内一点,且AD→＝13AB→＋12AC→,延长AD交BC于点E,若AE→＝λAB→＋μAC→,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC中,BE是边AC的中线,O是BE边的中点,若AB→＝a,AC→＝b,则AO→＝()A.12a＋12bB.12a＋13bC.14a＋12bD.12a＋14b2．(2019·济南调研)在△ABC中,AN→＝14NC→,若P是直线BN上的一点,且满足AP→＝mAB→＋25AC→,则实数m的值为()A．-4B．-1C．1D．43．在△ABC中,13ANNC,点P是BC上的一点,若211APmABAC,则实数m的值为()A．911B．511C．311D．2114．如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB→＝mAM→,AC→＝nAN→,则m＋n的值为()A．1B．2C．3D．45．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC→＝2AE→，则向量EM→＝()A．12AC→＋13AB→B．12AC→＋16AB→C．16AC→＋12AB→D．16AC→＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若AB→＝2AE→，AD→＝3AF→，AM→＝λAB→－μAC→(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A．－12B．1C.32D．－37．在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点,若AC→＝λAE→＋μAF→,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点,若AC→＝λAE→＋μAF→,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，则APPM＝________．10．点G是△OAB的重心,P、Q分别是边OA、OB上的动点,且P、G、Q三点共线．设OAxOP,OByOQ,证明：yx11是定值；11．在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P,且aAB,bAC,试用a、b表示AP.12．已知P是ABC的边BC上的任一点,且满足RyxACyABxAP.,,求yx41的最小值.PABCMN微信公众号：高中数学学习资料第5页答案例1答案：D解析：OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→例2解：因为E为线段AO的中点，所以BE→＝12BA→＋12BO→＝12BA→＋1221(BD→)=12BA→＋14BD→＝λBA→＋μBD→，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,EGC三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得(1)AGxAExAC,1133AEABa,ACab12(1)()(1)(1)33xAGxaxabaxb…………………①又,,FGB三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得(1)AGABAF1144AFADb，，1(1)4AGab……………………………②由①②两式可得：213114xx6737x3177AGab例4解：设AE→＝xAD→，因为AD→＝13AB→＋12AC→，所以AE→＝x3AB→＋x2AC→.由于E，B，C三点共线，所以x3＋x2＝1，解得x＝65.又AE→＝λAB→＋μAC→.所以λ＝x3＝25，μ＝x2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D解析：因为在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，所以AE→＝12AC→.因为O是BE边的中点，所以AO→＝12(AB→＋AE→)＝12AB→＋14AC→＝12a＋14b.2、答案：B解析：根据题意设BP→＝nBN→(n∈R)，则AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋nBN→＝AB→＋n(AN→－AB→)＝AB→＋n15AC→－AB→＝(1－n)AB→＋n5AC→，又AP→＝mAB→＋25AC→，由平面向量基本定理得1－n＝m，n5＝25，解得n＝2，m＝－1.3、答案：C解析：,,BPN三点共线，又2284111111APmABACmABANmABAN8111m311m4、答案：B解析：因为O为BC的中点，所以AO→＝12(AB→＋AC→)＝12(mAM→＋nAN→)＝m2AM→＋n2AN→，因为M，O，N三点共线，所以m2＋n2＝1，所以m＋n＝2.5、答案：C解析：如图，因为EC→＝2AE→，所以EM→＝EC→＋CM→＝23AC→＋12CB→＝23AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→＋16AC→.6、答案：A解析：AM→＝λAB→－μAC→＝λAB→－μ(AB→＋AD→)＝(λ－μ)AB→－μAD→＝2(λ－μ)AE→－3μAF→，因此E，M，F三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB→，AD→作为平面向量的一组基底，则AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AB→＋AD→，AF→＝AB→＋12AD→，又AC→＝λAE→＋μAF→＝12λ＋μAB→＋λ＋12μAD→，所以12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB→，AD→作为平面向量的一组基底，则AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AB→＋AD→，AF→＝AB→＋12AD→，又AC→＝λAE→＋μAF→＝12λ＋μAB→＋λ＋12μAD→，所以12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB→＝a，AC→＝b，因为A、P、M三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP→＝λAM→.又知M为BC的中点，所以AP→＝12λ(a＋b)．因为B、P、N三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP→＝μBN→，又AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋μBN→＝AB→＋μ(AN→－AB→)＝AB→＋μ23AC→－AB→＝(1－μ)a＋23μb，所以12λ(a＋b)＝(1－μ)a＋23μb，所以1－μ＝12λ，23μ＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP→＝45AM→，PM→＝15AM→.所以|AP→|∶|PM→|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明：因为G是OAB的重心，分析：211()()323OGOAOBOAOB1OPxOAOAOPx1OQyOBOBOQy111111()()3333OGOAOBOPOQOGOPOQxyxy又,,PGQ三点共线，11133xy113xy11xy为定值311、解：,,NPB三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得,1APxAByANxy,AN﹕AC=1﹕4,bACAN41411444yyxAPxABACxabxab……①又,,CPM三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得,1APAMAC∵AM﹕AB=1﹕3∴aABAM3131，，133APabab……………………………②由①②两式可得：1314xx311211x81,11xyy321111APab12.点P落在ABC的边BC上B，P,C三点共线APxAByAC1xy　且x0,y014141444()1()()145yxyxxyxyxyxyxyxy　x0,y040,0yxxy由基本不等式可知：4424yxyxxyxy，取等号时4yxxy224yx2yx0,0xy2yx1xy12,33xy，符合所以yx41的最小值为9