高中数学之平面向量基础知识过关及题型总结

1平面向量（讲义）知识点睛一、向量的基本概念1．定义：既有__________，又有__________的量叫做向量．表示：a、AB模：向量AB的________叫做向量的模，记作__________．2．几个特殊的向量：零向量、单位向量、平行(共线)向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算加法减法数乘定义求两个向量和的运算向量a加上向量b的________，即a+(-b)=a-b实数与向量的积是一个向量，记作λa法则(几何意义)CBAaba+b__________法则OCBA__________法则ABObaa-b=aa当λ0时，λa与a的方向_____；当λ0时，λa与a的方向_____；当λ=0时，λa=0运算律交换律：a+b=______结合律：(a+b)+c=______a-b=a+(-b)λ(μa)=_______(λ+μ)a=_______λ(a+b)=_______(-λ)a=_______λ(a-b)=_______λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b三、向量相关定理共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使(终点)(起点)BAbadcefa+bbabaa+bba2__________．扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线．①PAPB；②对平面任一点O，OPOAtAB；③对平面任一点O，1OPxOAyOBxy．平面向量基本定理：（1）基底：平面内__________的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=_________________．四、向量的数量积1．向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a和b，作OAa，OBb，则_________就是向量a与b的夹角．（2）图示：baθOBA（3）范围：__________．（4）共线与垂直：若θ=0°，则a与b________；若θ=180°，则a与b________；若θ=90°，则a与b________，记作__________．2．数量积（1）定义：设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量_____________叫做a与b的数量积，记作a•b．几何意义：a的长度a与b在a的方向上的投影_________的乘积．alOPBA3（2）性质：设a，b都是非零向量，则a⊥b__________．当a与b同向时，a•b=a•b；当a与b反向时，a•b=-a•b．a•a=__________或a=__________．cosθ=_____________．a•b≤______________．（3）运算律交换律：a•b=b•a；数乘结合律：(λa)•b=__________=__________；分配律：a•(b+c)=__________．五、向量的坐标表示及运算1．坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj．这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=__________．2．坐标运算设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a+b=____________，a-b=____________，λa=_____________，a•b=_____________，a=____________，cosθ=_____________．（1）坐标求法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=___________________．（2）向量位置关系与坐标a∥b____________________________．a⊥b____________________________．精讲精练1．根据图示填空：（1）a+b=__________，（2）c-a=__________，（3）a+b+d=__________，（4）f-a-b=__________，（5）c+d+e=__________，（6）g-c-d=__________．gEDCBAfedcba42．如图，在正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=（）AEDFCBA．0B．BEC．ADD．CF3．已知正方形ABCD的边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，则abc=（）A．0B．3C．2D．224．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=12AB，BE=23BC.若12=DEABAC(12，为实数)，则12的值是__________．5．在△ABC中，M为边BC上的任意一点，N为AM的中点，AN=λAB+μAC，则λ+μ的值为（）A．12B．13C．14D．1ABCABCABCD56．若=6a，=4b，a与b的夹角为60°，则(a+2b)•(a-3b)=_______．7．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e1+e2，b=-3e1+2e2的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π68．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的射影为___________．9．已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a•b=0，则实数k的值为___________．10．已知向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π611．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1-e2|=_________．612．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE•BD=___________．EDCBA13．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足AP=λAB，(1)AQAC-，λ∈R．若2BQCP-，则λ=（）A．13B．23C．43D．214．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(-2，1)，(-1，3)，(3，4)，则顶点D的坐标是__________．15．若向量a=(2，0)，b=(1，1)，则下列结论正确的是（）A．a•b=1B．|a|=|b|C．(a−b)⊥bD．a∥b16．设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且a⊥c，b∥c，则|a+b|=（）A．5B．10C．25D．10CBAOxy717．若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与a−b的夹角等于（）A．π4-B．π6C．π4D．3π418．已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为（）A．322B．3152C．322-D．3152-19．求证：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．GFEDCBAOxy8回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】知识点睛一、1．大小方向长度||AB二、加法：三角形平行四边形b+aa+(b+c)减法：相反向量数乘：相同相反(λμ)aλa+μaλa+λb-(λa)λa-λb三、b=λa不共线λ1e1+λ2e2四、1．（1）∠AOB；（3）0180≤≤（4）同向反向垂直a⊥b2．（1）|a||b|cosθ|b|cosθ9（2）a•b=0|a|2aaabab|a||b|（3）λ(a•b)a•(λb)a•b+a•c五、1．(x，y)2．(x1+x2，y1+y2)(x1-x2，y1-y2)(λx1，λy1)x1x2+y1y22211xy121222221122xxyyxyxy（1）(x2-x1，y2-y1)（2）a=λbx1y2-x2y1=0a•b=0x1x2+y1y2=0精讲精练1．（1）c（2）b（3）f（4）d（5）g（6）e2．D3．D4．125．A6．-727．C8．529．5410．B11．312．213．B14．（2，2）15．C16．B17．C18．A19．略平面向量（随堂测试）1.在△ABC中，ACb，ABc，若点D满足=2BDDC，则AD=（）A．2133-bcB．5233-cbC．2133bcD．1233bc2.若a与b的夹角为60°，a==1b，则a•(a-b)=_______．ABC103.在边长为1的正三角形ABC中，BC=2BD，CA=3CE，则AD•BE=___________．4.已知a=(-3，2)，b=(-1，0)，向量λa+b与a-2b垂直，则实数λ的值为（）A．17-B．17C．16-D．16【参考答案】1．C2．123．14-4．A平面向量（作业）例1：在△ABC中，已知D是边AB上的任意一点，若=2ADDB，CD=13CA+λCB，则λ的值为（）A．23B．13C．13-D．23-【思路分析】如图，先在AB上找到其三等分点D，CD=CA+AD=CA+23AB=CA23BA-=CA2()3CACB--CBADABCABC11=13CA+23CB，∵CD=13CA+λCB，∴λ=23，故选A．例2：已知=3a，=4b，且a与b不共线，若向量a+kb与a-kb互相垂直，则k=___________．【思路分析】∵向量a+kb与a-kb互相垂直，∴(a+kb)•(a-kb)=a2-k2b2=0，即2a-k22b=0，得32-42•k2=0，解得34k．例3：已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足AP=λAB，(1)AQAC-，λ∈R．若32BQCP-，则λ=（）A．12B．122C．1102D．322-【思路分析】+=+(1)BQABAQABAC---，CPAPACABAC--，CBAQPCBA12222[+(1)]()+(1)[1(1)]||+(1)||[1(1)]||||cos14+4(1)[1(1)]22222BQCPABACABACABABACACABACABACABACBAC-------------2-，即232222---，化简得21()02-，解得12，故选A．1320．根据图示填空：（1）(a+b)+c=__________；（2）a+(b+c)=__________；（3）f-a-b=__________；（4）d-a+c=__________．第1题图第2题图21．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A．+BDCFDF-0B．++ADBECF0C．+ADCECF-0D．BDBEFC--0