27.3(1)--垂径定理

第二十七章圆与正多边形金卫中学数学导学单勤能补拙是良训，一分辛劳一分才。ODCBAOBCDA27.3垂径定理（1）[学习目标]1、知道圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线；2、经历垂径定理的探索和证明过程，掌握并能运用垂径定理进行证明及计算；3、会添圆中的常用辅助线：半径、弦心距（垂直于弦的半径或直径）.[学习重难点]垂径定理的探索证明及其应用.一、课前预习1、思考：圆是中心对称图形，圆是不是轴对称图形？操作：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合.由此说明：圆是对称图形，任意一条所在的直线都是它的对称轴.2、问题：如图，CD是O的直径，AB是O的弦，ABCD，垂足是点M.那么AM与BM是否相等？AD与BD是否相等？利用圆是轴对称图形的性质，可知以CD为折痕将O翻折后，点A能与点重合，则线段AM与重合，（即AM=）；AD与重合，AC与重合.（即AD=，AC=）3、上面探索得到的结论是肯定的，你能用推理的方法来证明吗？试着写出证明过程.证明：（提示：联结OA、OB）二、课堂学习1、归纳得到垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径这条弦，并且这条弦所对的弧.用数学语言表达为：∵OMCD（或直径CDAB）∴AM，AD，AC.2、例题1已知：如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC=BD.（提示：作OMAB于M）3、例题2一千三百多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形.已知桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径长（精确到0.1米）.解：如图，用AB表示桥拱，AB所在圆的圆心为O，O的半径长为R.联结AB，过圆心O作半径OC垂直于弦AB，垂足为点D.根据垂径定理，可知D是AB的中点，C是AB中点，则CD就是拱高.由题设知4、概念：由圆的弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，例题2中的拱高也叫弓形高.（说明：弓形的弧可以是劣弧，也可以是优弧或半圆.弓形中的曲线一定是圆弧，拱形中的曲线不一定是圆弧.）课堂小结三、课堂练习1、如图，已知O的弦AB长为l0，半径长R为7，OC表示AB的弦心距，求OC的长.2、已知：O的半径长为50厘米，弦AB长50厘米.求：（1）点O到AB的距离；（2）AOB的大小。OACB第二十七章圆与正多边形金卫中学数学导学单勤能补拙是良训，一分辛劳一分才。DCBAODCBAOEOBCDAEDCBA3、如图，已知O的半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AD长2厘米，弧AB长5厘米.求：（1）AB的长；（2）弧AC的长.4、如图，已知P是O内一点，画一条弦AB，使AB经过点P，并且AP=PB.四、课后练习1、如图，已知AB是O的直径，CD是O的弦，CDAB，12ABcm，2BCcm，则O的周长为厘米，BD厘米，AD厘米.2、如图，已知AB是O的直径，OC、OD是半径，ABCD，100COD，求DOB的度数.3、如图，已知AB、CD是O的弦，ABCD，垂足为点E，AB被CD分成3厘米、14厘米两段（AEEB），求点O到CD的距离.4、已知：在两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AC=CD，OEAB于E.求证:4.BCED5、某人荡秋千，秋千踏板在静止时离地0.3米，秋千荡起时，踏板摆动的最大水平距离（两最高点间的距离）为8米，踏板离地最大高度为1.3米，求秋千的绳长.DOACBPO