同济大学-弹性力学-总复习

弹性力学总复习第一章绪论一、基本概念和假设外力（体力和面力）、应力、形变、位移。基本假定：（1）连续性假定；（2）线弹性假定；（3）均匀性假定；（4）各向同性假定；（5）小变形假定；（掌握这些假定的作用）基本概念：（6）无初始应力假定。二、注意事项基本假设在公式推演中的作用外力、应变、形变、位移的方向规定弹性力学主讲邹祖军总复习弹性力学主讲邹祖军总复习第二章张量知识基础弹性力学主讲邹祖军总复习弹性力学主讲邹祖军总复习第七章平面问题的直角坐标解答A基本概念平面应变和平面应力问题的区别•应力函数法求解平面问题的基本步骤：（2）xyyx,,然后将代入式（7.25）求出应力分量：),(yxyyyfx22xxxfy22yxxy2(7.25)（1）024422444yyxx(7.23)先由方程（7.23）求出应力函数：),(yx04（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。xyyx,,弹性力学主讲邹祖军总复习（1）平衡微分方程00yyxyxyxxfyxfyx（7.6）（假定：小变形、连续性、均匀性）（2）几何方程yuxvyvxuxyyx（7.2）（假定：小变形、连续性、均匀性）（3）物理方程)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1(2(7.14)（平面应力）(7.4))1(12yxxExyxyE)1(2)1(12xyyE（平面应变）（假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）弹性力学主讲邹祖军总复习第八章平面问题的极坐标解答A基本概念几何方程111()2rrrrruruurruuurrr(8.5)10210rrrrrrfrrrfrrr(8.8)平衡方程111(),(),rrrrrEEE(8.9)本构方程弹性力学主讲邹祖军总复习21()(1)()0rrrfffrrr(8.10)平面应力问题极坐标形式的应力协调方程222222211111()rrrrrrrrrrr(8.12)22221(1),(1)，平面应力平面应变(8.13)弹性力学主讲邹祖军总复习1.轴对称问题DCrrBrrA22lnlnCrBrAr2)ln21(2CrBrA2)ln23(20rr（8.14）应力函数：应力分量：位移分量：cossin4KIHrEBru（8.15）sincos)1(2KICrBrrBrrAEur)31()1(ln)1(2)1(1弹性力学极坐标求解归结为：（1）由问题的条件求出满足式（8.13）的应力函数),(r0112222224rrrr（8.13）（2）由式（8.12）求出相应的应力分量：rr,,22r22211rrrrrrr1（8.12）（3）将上述应力分量rr,,满足问题的边界条件：位移边界条件：,rsruuuus应力边界条件：rsrsrTnn21Tnnssr21uur,为边界上已知位移，TTr,为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）弹性力学主讲邹祖军总复习弹性力学主讲邹祖军总复习第十一章弹性力学的变分原理TiiiiijijVSVfudVTudSdV(11.1)虚位移方程或位移变分方程,表示外力所做的虚功等于真实内力所做的虚功最小势能原理:在所有几何可能的位移中,真实位移且只有真实位移使总势能取最小值0(11.3)总势能(11.2)TiiiiVVSWdVfudVTudS基本概念弹性力学主讲邹祖军总复习A、瑞利-李兹法解题步骤:（平面应力和平面应变问题）一、位移变分法（1）、选取位移函数式mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu),(),(),(),(00且),(),,(00yxvyxu是坐标x，y的已知函数，在位移边界上满足：vvuuuuss)(,)(00且),(),,(yxvyxumm是坐标x，y的已知函数，在位移边界上满足：0)(,0)(uusmsmvummBA,是待定的任意常数。（2）、求出弹性体的应变能W(11-17)变分法解题步骤弹性力学主讲邹祖军总复习dxdyyuxvyvxuyvxuEW])(212)()[()1(22222(11.16)将位移函数式(11-17)代入下式求出应变能：（平面应力问题）dxdyyuxvyvxuyvxuEW])(21)()()(21[)1(22222(11.15)（平面应变问题）（3）、得到求Am，Bm的线性方程组),3,2,1(,mdSvTdxdyvfBWdSuTdxdyufAWmymymmxmxm(11.18)弹性力学主讲邹祖军总复习（4）、将得到Am，Bm代入位移函数式(11.17)求出位移分量。将位移分量代入几何方程求出应变分量，将应变分量代入物理方程求出应力分量。mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu),(),(),(),(00(a)弹性力学主讲邹祖军总复习B、伽辽金法解题步骤:（平面应力和平面应变问题）（1）、选取位移函数式mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu),(),(),(),(00且),(),,(00yxvyxu是坐标x，y的已知函数，在位移边界上满足：vvuuuuss)(,)(00且),(),,(yxvyxumm是坐标x，y的已知函数，在位移边界上满足：0)(,0)(uusmsmvummBA,是待定的任意常数。（2）、将位移函数式代入式(11.19)或式(11.20),建立Am,Bm的线性代数方程组(11.17)上述位移函数式还应满足应力边界条件.弹性力学主讲邹祖军总复习),3,2,1(0])2121(1[0])2121(1[222222222222mdxdyvfyxuxvyvEdxdyufyxvyuxuEmymx(11-20)(平面应力)或),3,2,1(0])211()1(2[0])211()1(2[22mdxdyvfvyEdxdyufuxEmymx(11.19)式中yvxu(平面应变)弹性力学主讲邹祖军总复习（3）、将得到Am，Bm代入位移函数式(5-17)求出位移分量。将位移分量代入几何方程求出应变分量，将应变分量代入物理方程求出应力分量。mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu),(),(),(),(00(a)弹性力学主讲邹祖军总复习C、瑞利-李兹法解题步骤:（受弯曲弹性梁问题）（1）、选取挠度函数式mmmxwCw)(且)(xwm为满足位移边界条件的设定函数。mC是待定的任意常数。（2）、求出弹性梁的应变能V和总外力功W(a)LdxdxwEIV0222)(2(b)若只考虑梁受横向的分布外荷载q作用，总外力功WdxqwW(c)若梁受集中力或边界受边界力，则还应计入相应的外力功。如在x=ξ处作用集中力P，则外力功为：)(PwW弹性力学主讲邹祖军总复习（3）、得到求Cm的线性方程组总势能为WV则：),3,2,1(0mCm（4）、将求得的Cm代入式(a)得到挠度函数，再求出相应的应力分量、内力等弹性力学主讲邹祖军总复习D、伽辽金法解题步骤:（受弯曲弹性梁问题）（1）、选取挠度函数式mmmxwCw)(且)(xwm为满足位移边界条件和应力边界条件的设定函数。mC是待定的任意常数。(a)（2）、得到求Cm的线性方程组(b)（3）、将求得的Cm代入式(a)得到挠度函数，再求出相应的应力分量、内力等0)()(044dxxwqdxwEILmy(分布力)(c)0)()(044mLmyPwdxxwdxwEI(集中力x=ξ)或