高中数学中常用的数学思想方法

高中数学中常用的数学思想方法专题一、函数与方程的思想一、专题概览函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过建立函数关系式、确定函数的定义域或值域，结合函数的知识解决具体问题的一种思想。这种思想方法的实质是揭示问题数量关系的本质特征，突出对问题中变量动态的研究，从变量联系、发展和运动角度指导解题思路。方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系，从而建立方程（组）将问题解决的一种思想方法。方程与函数有着必然联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作是二元方程f(x)-y=0。确定变化过程的某个或某些量，往往要建立某个或某些量的方程，通过解方程（组）来求得这些量。函数与方程之间可以相互转化，在等式的意义下，方程是函数关系式中的动中求静，函数则是方程的静中求动。函数与方程思想是每年高考的必考内容，它涉及三大题型，难度有高、中、低三个档次。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，化难为易，化繁为简。二、例题选粹1、(08全国Ⅱ卷)设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（）A、(22)，B、(25)，C、(25)，D、(25)，2、若关于x的方程01222aaxx有实数根，则实数a的取值范围是。3、（08江苏）满足条件AB=2,AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是．4、（08天津）设1a，若仅有一个常数c使得对于任意的aax2,，都有],[2aay满足方程cyxaaloglog，这时，a的取值的集合为。5、若实数x、y、z满足4,5,3322223xzzyyx，则zxyzxy的最小值是（）A、632B、632C、632D、6326、已知三个实数a、b、c成等比数列，且a+b+c=m(m为正实数)，求b的值的集合。7、已知]8,2[,log)(2tttf，对于)(tf值域内的所有实数m，不等式xmmxx4242恒成立，求x的取值范围。8、已知△ABC的内角A、B、C成等差数列，且tanA·tanC=2+3，又顶点C在对边上的高等于43，求△ABC的三边a，b，c（a，b，c分别为A、B、C的对边）及三角（设角C最大）。9、在等腰△ABC中，底边BC=1，角B的平分线交AC于D，求BD的取值范围。三、总结提炼函数与方程的思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧，它体现了动与静，变量与常量的相互辨证关系，是研究变量与函数，相等与不变过程中的基本数学思想，是历年高考的考查对象。复习中要不断总结、归纳运用函数与方程思想分析和解决数学问题的方法和技巧，自觉地、充分合理地运用函数与方程的思想，提高数学意识和数学思维的能力。只有平时多加强训练并注意总结和积累，解决问题时才能做到运用自如，得心应手。专题二、数形结合的思想方法一、专题概览数形结合的数学思想方法就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数析形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数、空间点的坐标等；⑤可行域与目标函数的最值问题；⑥所给的等式、不等式或代数式的结构含有明显的几何意义等。数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程。纵观历年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的方法在解选择题、填空题中更显示其优越性，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题选粹1、设集合22,AxxxR，2|,12Byyxx，则RCAB等于（）A．RB．,0xxRxC．0D．2、（2007浙江）设21()1xxfxxx，≥，，，()gx是二次函数，若(())fgx的值域是0，∞，则()gx的值域是（）A．11∞，，∞B．10∞，，∞C．0，∞D．1，∞3、不等式xx2的解集为。4、（2007浙江）设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）yxOyxOyxOyxOA．B．C．D．5、(2006湖南）若圆2244100xyxy上至少有三个不同点到直线l:0axby的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是()A、[,124]B、[5,1212]C、[,]63D、[0,]26、（2006湖北）关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根。其中假命题的个数是________7、若关于x的不等式22xax至少有一个负数解，则实数a的取值范围是()A、249aB、245aC、247aD、337a8、解三角不等式组01tan03cos42xx9、两个实数yx,满足关系式0362yx，求：（1）612xy的取值范围；（2）yx2的取值范围；（3）22)3()4(yx的取值范围。10、求函数的最值。utt246三、总结提炼在运用数形结合思想解题的时候，还必须关注以下几个方面：①由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础；②数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势。“形”有直观、形象的特点，但代替不了具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用。教育部考试中心对《考试大纲》的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，在解答题中对数形结合的考查以由‘形’到‘数’的转化为主。”专题三、分类讨论的思想一、专题概览分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。分类的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的。分类要不重复，不遗漏；讨论时，分层次进行，不越级讨论。分类的步骤是：①明确讨论对象，确定讨论范围；②确定分类标准，正确进行分类；③逐类进行讨论，获取阶段性成果；④综合归纳，小结得出结论。二、例题选粹1、（08四川）已知等比数列{}na中21a，则其前3项的和3S的取值范围是()Ａ、,1Ｂ、,01,Ｃ、3,Ｄ、),3[]1,(2、若011log22aaa，则a的取值范围是（）A、),21(B、),1(C、)1,21(D、)21,0(3、（08江苏）设函数331fxaxx（x∈R），若对于任意1,1x，都有fx≥0成立，则实数a=．4、（08湖南）已知函数f(x)＝3(1).1axaa（1）若a＞0,则f(x)的定义域是；(2)若f(x)在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是。5、在直角三角形ABC中，)3,2(AB，),1(kAC，则k的值为。6、已知抛物线方程为xy22，直线l过点（0，1），若直线l与抛物线仅有一个交点，则l的方程为。7、设kR，函数111()11xxfxxx，，≥，()()Fxfxkx，xR，试讨论函数()Fx的单调性．三、总结提炼分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。分类讨论的基本类型：（1）问题中的变量或有需要讨论的参数，要进行分类讨论；（2）问题的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论；（4）有关几何问题中，几何元素的形状、位置变化需要讨论；（5）数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。常见的“个别”情形略举以下几例：①“方程02cbxax有实数解”转化为042acb时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0；②等比数列的前n项和公式中有个别情形：1q时，公式不再成立，而是Sn=na1。③设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。④若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1ayax，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。分类讨论要注意的几点：①根据问题实际，做到分类不重复不遗漏；②熟练掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，是解分类讨论问题的前提条件；③不断总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；④要注意简化和避免分类讨论，优化解题过程。专题四、转化与化归的思想一、专题概览化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓。转化思想在数学中的应用非常普遍，可以说是比比皆是，如由未知向已知转化，新知识向旧知识的转化，复杂问题向简单问题转化，不同数学问题之间的相互转化，实际问题向数学问题的转化等等。各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。可以这样讲，转化与化归既是一种思想，又是一种策略，也是一种方法。二、例题选粹1、（08湖南）函数f(x)=sin2x+3sincosxx在区间,42上的最大值是（）A、1B、132C、32D、1+32、（08湖北）若f(x)=21ln(2)2xbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是（）A、[－1，+∞)B、（－1，+∞）C、（－∞，－1]D、（－∞，－1）3、(07天津)设abc，，均为正数，且122logaa，121log2bb，21log2cc．则（）A、abcB、cbaC、cabD、bac4、（08辽宁）已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A、172B、3C、5D、925、（06江西）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB＝90，