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圆知识点一、圆的有关概念1．圆的定义：（1）形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA叫做。（2）描述性定义：平面上到定点的距离等于的所有点组成的图形叫做圆，定点称为，称为半径。2．与圆有关的概念（1）弧：圆上任意两点间的叫做弧，根据弧的大小，弧可分为、、三类。（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦.（3）直径：经过的弦叫做直径。（4）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做。（5）圆心角：顶点在的角，叫做圆心角。（6）圆周角：顶点在，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角。知识点二、圆的有关性质1．圆的对称性（1）轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴（2）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是。2．圆心角、弧、弦之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦也。（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也。（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的优弧和劣弧分别。3．垂径定理及推论：◆◆◆名师提醒◆◆◆等弧只在等圆或同圆中存在，大小不等的圆不存在等弧。◆◆◆名师提醒◆◆◆（1）在一个圆中，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；（2）直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径；（3）圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转不变性，即绕圆心旋转任意角度，所得的圆都与原来的图形重合。◆◆◆名师提醒◆◆◆圆心角、弧、弦之间的三个关系的前提条件是“在同圆或等圆中”。（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。（2）推论：，①平分弦（）的直径于弦，并且平分弦所对的。②弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且另一条狐。4．圆周角定理及其推论：（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的。（2）推论①：在同圆或等圆中，如果两个圆周角，那么它们所对的弧。推论②：同弧或等弧所对的圆周角。推论③：半圆（或直弦）所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是。5．圆内接四边形：（1）圆内接四边形的定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角。知识点三、确定圆的条件1．不在的三个点确定一个圆。2．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的的交点，叫做三角形的心。考点一：圆周角定理及其推论例1、（2018•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（3，0），D（0，1），点B是x◆◆◆名师提醒◆◆◆（1）垂径定理及其推论实质是指满足下列结论的一条直线：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。如果五个结论中的两个，那么可推出其余三个结论，注意解题过程中的灵活运用。（2）圆中常作的辅助线是过圆心作弦的的垂线（即弦心距）。（3）垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中，已知其中两个量可求另外两个量。◆◆◆名师提醒◆◆◆（1）在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补；（2）作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线。◆◆◆名师提醒◆◆◆圆内接平行四边形是矩形。轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°2.（2018·山东青岛）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°变式练习1．（2018•南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58°B．60°C．64°D．68°2．（2018•菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°3．（2018•巴中）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（）♥♥♥思维升华♥♥♥半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握。A．2B．2C．22D．3考点二：垂径定理例1、（2018•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cmB．6cmC．2.5cmD．5cm例2.（2018•山东枣庄•3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．8例3.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是．♥♥♥思维升华♥♥♥垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。利用垂径定理解题，常常根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解。变式练习1．（2018•甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=ABB．∠C=12∠BODC．∠C=∠BD．∠A=∠BOD2．（2018•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A．15B．25C．215D．83．（2018•绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升cm．考点三：圆内接四边形例3（2017•潍坊）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°变式练习1．（2017•锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．40°♥♥♥思维升华♥♥♥求解圆内接四边形的角度问题，常将圆外的角转化为圆内去，再利用圆内接四边形的对角互补的性质求解。2．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CBCD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．知识点一、点与圆的位置关系：1．点与圆的位置关系点与圆的位置关系有种。设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则：（1）点P在圆内dr；（2）点P在圆上dr；（3）点P在圆外dr。2．过三点的圆：（1）过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆；（2）三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做这个圆的；（3）三角形外心的形成：三角形的交点，就是三角形的外心；（4）外心的性质：三角形的外心到相等。3．直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离OP=d，则直线与圆的位置关系有三种，具体如下表：位置关系相离相切相交图示d与r的关系d=r◆◆◆名师提醒◆◆◆（1）锐角三角形外心在三角形在三角形的内部；（2）直角三角形的外心是斜边的中点；（3）钝角三角形的外心在三角形的外部。rdPlOrdPlOrdPlO直线与圆的交点个数1个交点知识点二、切线的性质和判定1．切线的定义：直线与圆只有公共点时，我们说这条直线与圆相切，这条直接叫做圆的，这个点叫切点。2．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的。3．切线的判定（1）定义判定：和圆只有公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：圆心到直线的距离等于的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线。4．切线长定理：（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角。知识点三、三角形的内切圆（1）与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的。（2）三角形内心的形成：是三角形三条的交点。（3）三角形内心的性质：三角形内心到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分。知识点四、圆和圆的位置关系◆◆◆名师提醒◆◆◆根据根据切线的性质定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。◆◆◆名师提醒◆◆◆在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明；当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切。◆◆◆名师提醒◆◆◆（1）不管是是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内心都在三角形内部；（2）若△ABC三边为a、b、c，面积为S，内切圆半径为r，则2Srabc；若△ABC为直角三角形，∠C=90°，则1()2rabc。圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O2半径为r，圆心距为d，且Rr，则：（1）⊙O1与⊙O2外离；（2）⊙O1与⊙O2外切；（3）⊙O1与⊙O2相交；（4）⊙O1与⊙O2内切；（5）⊙O1与⊙O2内含。知识点五、反证法假设命题的结论，从这个假设出发，经过推理论证得出，由矛盾判定假设，从而肯定命题的结论成立，这种证明命题的方法叫反证法。考点一：切线的性质例1（2018•昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．变式练习1．（2018•眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（）A．27°B．32°C．36°D．54°3．（2018•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；◆◆◆名师提醒◆◆◆（1）两圆相离（无公共点）包含外离和内含两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含外切和内切两种情况；（2）同心圆是两圆的圆心相同，此时d=0。◆◆◆名师提醒◆◆◆（1）反证法证题的关键是提出命题的结论不成立，即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾，可以与已知相矛盾，也可以与定义、公理、定理相矛盾，从而肯定原命题成立。（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．考点二：切线的判定例1（2018•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=23，∠BCD=120°，A为BE的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．例2、如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例3、如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F。求证：CE与△CFG的外接圆相切.变式练习1．（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．32．（2018•怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；（2）求证：CD是⊙O的切线．●●●触雷警示●●●切线的判定方法（1）“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连线圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直；（2）“作垂直，证等径”：若未给粗直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于半