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小学数学同步辅导六年级上册学习领域整理与复习领域二图形王国领域知识回顾领域模块知识要点具体内容长方体和正方体长方体的特征长方体的6个面都是长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形）相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。正方体的特征正方体的6个面是完全相同的正方形；12条棱的长度相等；有8个顶点。长方体长、宽、高的意义相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作长方体的长、宽、高。长方体和正方体的表面积表面积的意义长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。长方体表面积的计算方法长方体的表面积=（长×宽+长×高+高×宽）×2用字母表示为:S=(ab+ah+bh)×2正方体表面积的计算方法正方体的表面积=棱长×棱长×6用字母表示为：S=6a2领域知识回顾知识模块知识要点具体内容体积和体积单位体积的意义物体所占空间的大小叫作物体的体积。体积单位、进率体积单位有立方米、立方分米、立方厘米；用字母表示为m3、dm3、cm31m3=1000dm31dm3=1000cm3容积的意义、进率容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。1L=1000mL容积单位和体积单位的换算1L=1dm31cm3=1mL长方体和正方体的体积长方体的体积公式长方体的体积=长×宽×高用字母表示V=abh正方体的体积公式正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示为V=a3长方体和正方体的体积统一公式长方体（或正方体）的体积=底面积×高用字母表示为V=Sh领域考点整理【考点一】长方体(或正方体)的棱长总和例1一个长方体的下底周长是28厘米，高是4厘米，这个长方体的棱长总和是多少？分析：长方体有4个长，4个宽，4个高。底面周长是28厘米，底面是2个长和2个宽，底面周长乘2就是4个长和4个宽的和，再加上4个高的长度，就是长方体的棱长总和。解答：28×2+4×4=72（厘米）提示：长方体：高=棱长总和÷4-长-宽宽=棱长总和÷4-长-高长=棱长总和÷4-宽-高正方体：棱长=棱长总和÷12领域考点整理【考点二】长方体（或正方体）的表面积例粉刷一间长9米、宽7米、高3米的教室，门窗的面积是12平方米，这间教室要粉刷的面积是多少平方米？分析：要求这间教室的粉刷面积，就是先求长方体教室5个面的面积和（不包括地面），再从5个面的面积和中扣除门窗的面积。解答：方法一9×7+9×3×2+7×3×2-12=147（平方米）方法二9×7+（9×3+7×3）×2-12=147（平方米）提示：在实际生活中，有时不需要计算长方体6个面的总面积，只需要计算其中某几个面的面积，这要根据具体情况来思考。例如通风管、烟囱是求4个面的面积；无盖长方体（或正方体）箱子、游泳池是求5个面的面积。领域考点整理【考点三】长方体（或正方体）的体积例一个长方体玻璃缸，从里面量长9分米、宽4分米、高7分米，水深4分米。如果放入一个棱长是3分米的正方体铁块且全部浸入，水面上升了多少分米？解法一分析：要求水面上升的高度，首先要求出水面上升的那部分水的体积，而水面上升的那部分水的体积就是正方体铁块的体积。用正方体铁块的体积÷玻璃缸的底面积即可求出水面上升的高度。解答：3×3×3÷（9×4）=0.75（分米）提示：解决此类题时要注意物体放入液体中时，液体是否溢出了容器及物体是否完全浸入液体中。解法二分析：正方体铁块放入水中，水面会上升，水面上升后的高度=（水的体积+正方体铁块的体积）÷底面积，水的体积可以根据长方体的体积=长×宽×高求得，铁块的体积可以根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长求得，玻璃缸的长和宽已知，因此水面上升后的高度就能求出。用水面上升后的高度减去水面原来的高度，就求出了水面上升的高度。解答：[(9×4×4)+3×3×3]÷(9×4)=0.75（分米）领域考点整理【考点四】长方体（或正方体）的底面积、表面积、体积、容积的区别例1华清游泳馆新建一个长方体游泳池，从里面量底面长100米、宽80米，高2米。（1）这个游泳池的占地面积是多少？（2）建这个游泳池需要挖土多少立方米？（3）在游泳池的底面和侧面镶一层瓷砖，如果每平方米瓷砖需要30元，共需要多少元？（4）如果每立方米水重1吨，那么在游泳池中注入多少吨水，才能使水深1.5米？分析：（1）求游泳池的占地面积，就是求长方体的底面积，水池的长和宽的乘积就是长方体的底面积。（2）求建这个游泳池需要挖土多少立方米，就是求挖土的体积，也就是求游泳池的容积，利用长方体的体积公式可求出。（3）求给游泳池镶瓷砖需要多少钱，首先要求出镶瓷砖的面积，也就是长方体的底面积和侧面面积的和，用每平方米需要的钱数乘镶瓷砖的面积。（4）要求注入水的质量，首先要求出注入水的体积，求水的体积要用游泳池的底面积乘水的深度（不是游泳池的深度），然后根据1立方米的水重1吨，求出水的重量。领域考点整理【考点四】长方体（或正方体）的底面积、表面积、体积、容积的区别例2把一个长、宽、高分别是11厘米、9厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块熔铸成一个高8厘米的长方体铁块，它的体积是多少立方厘米？底面积是多少平方厘米？分析：两个铁块在熔铸的过程中，形状虽然发生了变化，但体积大小不变。第二个问题可以根据长方体体积的变形公式“长方体的底面积=体积÷高”来计算。解答：（11×9×3+4×4×4）÷8=45.125（平方厘米）提示：熔铸指的是熔化并铸造，在这个过程中金属的形态虽然发生变化，但体积的大小不变。领域考点整理【考点五】关于切割例一个表面积是96平方厘米的正方体，把它截成5个完全相同的长方体后，表面积增加了多少平方厘米？分析：根据正方体的表面积是96平方厘米，可以求出每个面的面积是多少。因为把正方体截成5个完全相同的长方体，需要截4次，而每截一次会增加两个截面，所以一共增加2×4=8（个）截面，因为每个截面的面积等于正方体一个面的面积，所以可以求出增加8个截面的面积和。解答：（96÷6）×（2×4）=128（平方厘米）提示：熔铸指的是熔化并铸造，在这个过程中金属的形态虽然发生变化，但体积的大小不变。领域考点整理【考点五】关于切割提示：无论如何切割，切割后各部分的体积和不变，但因为切割的位置不同，表面积的变化也不同，要具体问题具体分析：如图1：每切割一次，表面积总和多出两个截面。如图2：在角上每切割去一个长方体或正方体，剩下部分的表面积等于原来的表面。如图3：在一条棱上每切割去一个长方体或正方体，剩下的部分的表面积比原来的表面积减少2个a如图4：在棱中间每切割去一个长方体或正方体，剩下的部分的表面积比原来的表面积增加2个a如图5：在一个面上每切割去一个长方体或正方体，剩下的部分的表面积比原来的表面积增加4个小面的面积，即2个a，2个b。领域知识复习一、填空。1.一块橡皮的体积是6（），一瓶墨水的容积约是60（）。2.用两个棱长是5分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（），体积是（）。3.用一根24厘米长的铁丝做成一个正方体框架，再糊上纸，整个正方体的体积是（），表面积是（）。4.把5个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体后，表面积减少了（）平方厘米。领域知识复习二、判断。1.用4个小正方体一定能拼成大正方体。（）2.8立方分米的物体一定比1立方厘米的物体占地面积大。（）3.棱长是6厘米的正方体，它的表面积和体积相等。（）4.如果一个长方体有4个面的面积相等，那么其他2个面的面积一定相等。（）领域知识复习三、选择。1.0.83的结果是（）。A.24B.5.12C.0.512D.0.05122.如果大正方体的表面积是小正方体表面积的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体棱长的（）倍。A.2B.4C.6D.83.一个长方体的棱长之和是120厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是（）厘米。A.12B.40C.30D.604.如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的体积就扩大到原来的（）倍。A.8B.16C.27D.32领域知识复习四、解决问题。1.一块正方体钢坯的棱长是4分米，把它锻造成横截面是边长为5厘米的正方形的长方体钢材，钢材长多少米？如果每立方厘米钢材的质量是7.8克，这根钢材重多少千克？2.一个房间内共铺设了800块长50厘米、宽30厘米、厚2厘米的木质地板，这个房间共占地多少平方米？铺这个房间的地面，需要木质地板多少立方米？领域知识复习3.用铁皮做一个无盖的长方体油桶，长和宽都是4分米，高是6分米，需要铁皮多少平方分米？桶内装汽油，每升油重0.82千克，这个油桶可装汽油多少千克？4.一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸内水深15厘米，把一块石头完全浸入水中后，水面上升到18厘米，石头的体积是多少立方分米？课后作业：做打印的单元知识测评人的天赋就像火花，它既可以熄灭，也可以燃烧起来。而使它燃烧成熊熊大火的方法只有一个，就是学习，再学习。高尔基