7.6-函数展开成幂级数

§7.6函数展开成幂级数前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，但在许多应用中，我们遇到的却是相反的问题：给定函数()fx，需考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()fx。如果能找到这样的幂级数，我们就说，在该区间内就表示函数()fx．函数()fx在该区间内能展开成幂级数，而这个幂级数根据和函数的性质，知()fx在0()Ux内应具有任意阶导数，且假设函数()fx在点0x的某邻域0()Ux内能展开成幂级数，即有由此可得()0()!nnfxna，于是20102000()()()()()(7.15)nnfxaaxxaxxaxxxUx()21020(2)!()!(1)!()()2!nnnnnfxnanaxxaxx()01()(0,1,2,)!nnafxnn(7.16)这表明，如果函数()fx有幂级数展开式(7.15)那么(7.17)、(7.18)叫做函数()fx在点0x处的泰勒级数、泰勒展开式．该幂级数的系数na由公式(7.16)确定，即该幂级数为()000001()'()()()()!nnfxfxxxfxxxn()0001()()!nnnfxxxn(7.17)展开式为()0011()()()!nnnfxfxxxn，0()xUx(7.18)定理7.9设函数()fx在点0x的某一邻域0()Ux内具有各阶导数，则()fx在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内()fx的泰勒公式中的余项()nRx即lim()0nnRx，0()xUx当n时趋于零，证明()fx的n阶泰勒公式为()()()nnfxpxRx，其中()000001()()()()()()!nnnpxfxfxxxfxxxn叫做函数()fx的n次泰勒多项式，而()()()nnRxfxpx就是定理中所指的余项．由于n次泰勒多项式()npx就是级数(7.17)的前1n项部分和，根据级数收敛的定义()00001()()(),()!nnnfxxxfxxUxn0lim()(),()nnpxfxxUx0lim()()0,()nnfxpxxUx0lim()0,()nnRxxUx下面着重讨论00x的情形，在(7.17)式中，取00x，得如果()fx能在(,)RR内展开成x的幂级数，则有()()111(0)(0)(0)(0)!!nnnnnffxfxfxnn(7.19)级数(7.19)称为函数()fx的麦克劳林级数．()11()(0),()!nnnfxfxxRn（7.20）(7.20)式称为函数()fx的麦克劳林展开式．函数()fx定义区间内任一点0x，是否可以展开为一个幂级级数，取决于它的各阶导数在0xx时是否存在，以及当n时，余项()nRx是否趋于0．下面，将介绍一些初等函数展开为幂级数．1、直接展开法麦克劳林幂级数的步骤：利用泰勒公式或麦克劳林公式，将函数()fx展开为幂级数．下面将给出()fx展成麦克劳林幂级数的步骤：(1)求出()fx在0x的各阶导数值()(0)nf，若函数()fx的某阶导数不存在，则()fx不能展开为幂级数；(3)判断在收敛域内余项()nRx的极限，即(1)1()lim(1)!nnnfxxn是否为零。如果不为零，幂级数虽然收敛，但它的和函数也不是()fx．(2)写出幂级数()0(0)()!nnnffxxn，并求出其收敛域；如果为零，则幂级数在此收敛域内等于函数()fx；例1将函数()xfxe展成x的幂级数．解由()xfxe得()(0)1nf，从而其收敛域为(,)，对于任何有限数x，余项绝对值为11lim()limlim(1)!(1)!nxxnnnnnxeRxxenn()00(0)!!nnnnnfxxnn因xe是有限数，1(1)!nxn是级数0()!nnxxn的通项，所以对任意xR上式均成立，因此得到xe0()!nnxxn(7.21)例2将函数sinx展成x的幂级数．则()(21)00(0)(1)!(21)!nknknkfxxnk解由()()sin(),2nnfxx得(0)0,(0)1,(0)0,(0)1,,ffff3521(1)3!5!(21)!kkxxxxk(2)(21)(0)0,(0)(1),kkkff所以210sin(1)()(21)!nnnxxxn(7.22)2323(23)lim()limsin()lim02(23)!(23)!kknkkkxkxRxxkk,因为221(21)!1limlimlim0(21)!2(21)!kkkkkukxxukkk所以它的收敛域为(,)．又２.间接展开法例3将函数ln(1)x展开成x的幂级数．解因为间接展开法是以一些函数的幂级数展开式为基础，利用幂级数的性质，变量替换等方法，求出某些函数的211(1)(11)1nnxxxxx(7.23)幂级数展开式．上式两边分别从0到x逐项积分，得2310111ln(1)(1)123xnndtxxxxxtn(7.24)可以证明：在1x处上式仍成立，因此收敛域为(1,1].例4将函数arctanx展开成x的幂级数．解将式(7.23)式中的x换成2x，有逐项积分，得24122211(1)1nnxxxx2135111arctan(1)3521nnxxxxxn当1x时交错级数101(1)21nnn收敛；当1x时，交错级数01(1)21nnn收敛．因此收敛域为[1,1]．例5将函数cosx展成x的幂级数．解因为(sin)cosxx，利用(7.22)式得210cos(sin)[(1)](21)!nnnxxxn20(1)(2)!nnnxn=42(1)()24!(2)!nnxxxxn2=1-!(7.25)例6将函数3xe展成x的幂级数．解将(7.21)式中的x换成3x，得301(1)()!3xnnnxen2111()(1)()()32!3!3nnxxxxn例7将函数2sinx展成x的幂级数．解因为21sin(1cos2)2xx，得到20(2)cos2(1)(2)!nnnxxn，将（7.25）式中的x换成2x，于是21sin(1cos2)2xx24211(2)(2)(2)[11(1)]22!4!(2)!nnxxxn211(2)(1)()2(2)!nnnxxn例8将函数2()2xfxxx展成x的幂级数．解2()2(2)(1)xxfxxxxx因为01(1)(11)1nnnxxx，112111()()3123112xxxx，01()(22)212nnxxx根据幂级数的性质有0001111()(1)(1)3232nnnnnnnnnnfxxxx其收敛域取11x与22x的交集，即为,1(-1)．例9将1()xdedxx展成x的幂级数．解因为21()2!!nxxxexxn，两边逐项微分，得所以2111(0)2!3!!xnexxxxxn21121()2!3!!xndenxxdxxn其收敛域为(,0)(0,)．例10将15x展成为2x的幂级数，并求收敛域．解将(7.23)式中的x换成2x，有2111(11)1nttttt所以1111253(2)313xxx2112221()()3333nxxx21231111(2)(2)(2)3333nnxxx由213x得323x，即收敛域为(1,5)．例11将lnx展成1x的幂级数，并求收敛域．解由(7.24)式得21ln(1)12nntttttn所以lnln[1(1)]xx2111(1)(1)(1)2nnxxxn由111x，得02x，即收敛域为0,2．