[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第三讲：二维形式的柯西不等式2课时1

一.课前复习若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:二维形式的柯西不等式经过变形后可得到两个比较重要的不等式：22222222||abcdacbdabcdacbd定理2:（柯西不等式的向量形式）设是两个向量,则,当且仅当是零向量,或存在实数,使时,等号成立.kk第三讲虎林高级中学栾红民二维形式的柯西不等式一?,,,,,,,,,,,.关系吗个实数蕴涵着何种大小这你能发现的边长关系根据的坐标分别为设点中系标坐角面直在平如图观察4213221121221121yxyxPOPyxyxPPOxy111yxP,222yxP,Oxy111yxP,222yxP,213.图.打开几何画板观察实验Oxy111yxP,222yxP,Oxy111yxP,222yxP,213.图,,,.22122122222121213yyxxyxyx容易发现的边长关系及三角形根据两点间距离公式以如图③.,,,,式中的等号成立两旁时在原点并且点在同一直线上与原点当且仅当OPPOPP2121③).(inequalityletriang叫做二维形式的不等式③三角不等式.,,,,2212212222212122113yyxxyxyxRyxyx那么设二维形式的三角不等式定理.,,,,,.,,用柯西不等式了就能使样这例如构造出平方和的形式另两数设法构造两数平方和乘进行式子变形需要为了使用柯西不等式证明中这个不等式从代数的角度证明式下面我们利用柯西不等发现了三角不等到式上面从几何角度分析22222121yxyx22222222212121212222221212yxyxyxyxyxyx证明2222212121212yxyyxxyx||2222212121212yxyyxxyx)(22212122212122yyyyxxxx,221221yyxx.22122122222121yyxxyxyx故.,哪一步用了柯西不等式证明中.221221232232231231yyxxyyxxyyxx得等式代入不代用代用代用代不妨用对于任何实数都成立由于不等式,,,,,,232232131131yyyxxxyyyxxx③③.,的几何意义解释不等式请结合直角坐标系探究④.,.,柯西不等式的应用介绍二维形式证明下面继续结合不等式的中的应用证明几何背景及其在不等式西不等式的数学意义、柯维形式分别讨论了二程的过理上面得出三个定.,三角不等式仍被称为二维形式的有明显的几何意义不等式④.,,,41113babaRba求证设例.,,,.,,,,用柯西不等式了就可以有了注意到在本例中以应用这个条件根据证明的需要可都不会改变它们的值去乘任何数或式子用的特殊性数由于常这个条件问题中有分析bababababababa11111111得根据柯西不等式由于证明,,,Rba.411112bbaababa.,4111baba所以又??,为什么这个条件可以去掉吗本例中Rba37页习题3.17.1,yb,,,,4的最小值求且已知例yxxaRbayx2min22222)()(.,)()()(,1,,,,:bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx时取等号即当且仅当解变式引申:.,94,13222并求最小值点的最小值求若yxyx)61,41(,2194614113232.32,1312.2194,1)32()11)(94(:222222222最小值点为的最小值为得由时取等号即当且仅当由柯西不等式解yxyxyxyxyxyxyxyxyx.,,,,,,等号成立时当且仅当则都是实数若二维形式的柯西不等式定理bcadbdacdcbadcba222221.,,,,||||||,,等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当则个向量是两设式的向量形式等柯西不定理kk2小结思考.已知224936xy,求2xy的最大值.作业：36页习题3.16,8,9