线段和最短与轴对称

考拉超课科技有限公司-教研组线段和最短与轴对称(一)教师：罗志文提出问题据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教一个百思不得其解的问题：从A地出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？如何确定饮马的地点？这个问题中马走的是一条折线。该怎么办呢？AB线段和最短与轴对称(一)如图，把河看作直线l，A、B为同侧的两定点，作B点关于l成轴对称B′，连接AB′交直线l于P点，连接PB。结论：PA+PB最短。证明：在l上另取一点P′(不与P重合)，连AP′，B′P′，BP′，由轴对称性可知：BP′=B′P′，BP=BP′，在三角形B′P′A中，B′P′+AP′＞AB′，∴AP′+BP′＞AP+PB，∴PA+PB最短。线段和最短与轴对称(一)1.两定点一动点lABB′PP′BOAP如图，P为∠AOB内一点，E、F是∠AOB两边OB、OA上的动点，P1与P关于OA成轴对称，P2与P关于OB成轴对称，连接P1P2交OB于E点，交OA于F点。结论：△PEF的周长最短。证明：如图，在OA和OB上任选两点N、M(不与E、F重合)，由轴对称性可知：P1、E、F、P2四点共线，而P1、M、N、P2形成三段折线。故P1F+EF+P2E最短，即PE+EF+PF最短。2.一定点两动点EF线段和最短与轴对称(一)P1P2MNEF例1.如图，一次函数图象经过点A(4，3)，B(0，1)．（1）求一次函数解析式；（2）若点C是x轴上一动点，当AC+BC的值最小时，求C点坐标．例题精讲解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)．依题意，得，解得：，所以，该一次函数的解析式为：y=x+1；（2）如图，作点A(4，3)关于x轴的对称点A′(4，-3)，连接BA′交x轴于点C，则此时AC+BC取得最小值．设直线BA′的解析式为y=kx+1，依题意-3=4k+1．k=-1．∴直线BA′的解析式为y=-x+1．令y=0，则x=1．∴C（1，0）．线段和最短与轴对称(一)xyOBA12A′C4+=3=1kbb1=2=1kbACBD例2.如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°例题精讲解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值，∵∠C=50°，∴∠BAD=130°，∴∠A′+∠A″=180°-∠BAD=180°-∠A′AA″=50°，∵∠A′=∠EAA′，∠FAA″=∠A″，∠EAA′+∠FAA″=∠A′+∠A″=50°，∴∠EAF=130°-50°=80°线段和最短与轴对称(一)EFDA′A″EFN驶向胜利的彼岸如图，直线y=x-1与直线y=x交于C点，与y轴交于A点，BC⊥AC交x轴于B点.(1)求B点坐标；(2)P为y轴上一动点。当PB+PC的值最小时，求P点坐标．变式练习解：(1)联立，则x=2，y=2；∴C(2，2)，A(0，-1)，过点C作CM⊥OB，ON⊥OA，CM=CN=2，则可证△BCM≌△CAN(AAS)，∴B(5，0)(2)如图，作B1与B关于y轴对称，∴B1(-5，0)，连B1C交y轴于P点，由B1和C点坐标，可知直线B1C1的解析式为：∴当P(0，)时，PB+PC的值最小．线段和最短与轴对称(一)32xyOBAC3=12=yxyx-210=+77yx107MNB1∠CMB=∠CNA=90°，∠OAC=∠CBO，BOAMN独立完成作业线段和最短与轴对称(一)解析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OB于点P，OA于点Q即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠NON′=∠MOM′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==．2231如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是______．PQ10M′N′QP10DBCA拓展练习如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．B．4C．D．6线段和最短与轴对称(一)3242解析：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N．∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BM+MN=BM+MH=BN，∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短)，∴BH就是BM+MN的最小值，∵AB=6，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=6×=，∴BM+MN的最小值是．323222MNA