第10章 层次分析法

层次分析法TheAnalyticHierarchyProcess(AHP)层次分析法在管理中，人们常常在面临多种方案时,需要依据一定的标准选择某一种方案。例如：买冰箱时，一般要依据质量、颜色、耗电量、价格、外形等方面的因素，从众多的品牌中进行选择一款例如：企业的决策者要决定购置哪种设备，上马什么产品；经理要从若干求职者中决定录用哪些人员；地区、部门官员要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。这一系列的问题，评价的困难在于有的指标没有明确的数量表示，甚至只与评价人的主观感受和经验有关；而且不同的方案可能各有所长，指标越多，方案越多，问题就越复杂。面对这样的问题，运筹学者开始了对人们思维决策过程进行分析、研究。层次分析法美国运筹学家，T.L.Saaty等人在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法，称之为层次分析法（AHP法)(analytichiterarchyprocess)，定性与定量相结合，把人们的思维过程层次化，数量化的多准则决策方法。T.L.Saaty等曾把它用于电力工业计划，运输业研究，美国高等教育事业1985-2000展望，1985年世界石油价格预测等方面。层次分析法AHP法作为一种决策方法是在1982年11月召开的中美能源、资源、环境学术会议上，有Saaty学生H.Gholamnezhad首先向中国介绍的。以后层次分析法在中国得到很大的发展，很快应用到能源系统分析，城市规划，经济管理科研成果评价的许多领域。层次分析法决策目标准则1方案1准则m1准则2子准则1方案2子准则2方案mr子准则m2…………………层次分析1.明确问题2.递阶层次结构的建立3.建立两两比较的判断矩阵4.层次单排序5.层次综合排序层次分析法（AHP）具体步骤：一、层次分析的结构模型：用AHP分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类：1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；层次分析的结构模型2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素。层次分析的结构模型注：层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般不受限制。为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个。层次分析的结构模型目标层：准则层：方案层：信誉T1A型式T2B价格T3C容量T4D制冷级别T5耗电量T6选购电冰箱层次分析的结构模型例、选择科研课题：某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，如何选择？考虑下列因素：成果的贡献大小，对人材培养的作用，课题可行性。在成果贡献方面考察：应用价值及科学层次分析的结构模型意义（理论价值，对某科技领域的推动作用）；在课题可行性方面考虑：难易程度（难易程度与自身的科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间），财政支持（所需经费，设备及经费来源，有关单位支持情况等）。层次分析的结构模型目标层合理选择科研课题A成果贡献B1人才培养B2课题可行性B3课题D1课题D2课题D3应用价值c1科学意义c2难易程度c3研究周期c4财政支持c5层次分析的结构模型方案层准则层例、设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（效益/代价）作为选择方案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。层次分析的结构模型准则层过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3桥梁D1隧道D2渡船D3收入c2岸间商业c3节省时间c1当地商业c4建筑就业c5安全可靠c6交往沟通c7自豪感c8舒适c9进出方便c10美化c11层次分析的结构模型方案层目标层过河的代价A经济代价B1社会代价B2环境代价B3桥梁D1投入资金c1操作维护c2冲击渡船业c3冲击生活方式c4交通拥挤c5居民搬迁c6汽车排废物c7对水的污染c8对生态的破坏c9隧道D2渡船D3层次分析的结构模型目标层准则层方案层二、判断矩阵：上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素Z（目标A或某个准则Z）相联系的各下层元素（x1，x2，…，xn)在上层元素Z之中所占的权重，设为（w1,w2,…,wn）,若将它们两两比较，其比值可构成矩阵A.层次分析的判断矩阵目标或准则w1w2…wnW1w1/w1W1/w2…W1/wnW2W2/w1W2/w2…W2/wn……………wnWn/w1Wn/w2…Wn/wn层次分析的判断矩阵Wn/wn…Wn/w2Wn/w1…………W2/wn…W2/w2W2/w1W1/wn…W1/w2w1/w1A=层次分析的判断矩阵1，aij0，aji=1/aij，aii=1我们称判断矩阵A为正互反矩阵2，aij·ajk=aik若矩阵同时具备性质1,2此时称A为一致阵3,A的秩为1,（即只有一个非零特征值，其余n-1个为0）4,AW=nWλmax=n其中W=(w1,w2,…wn)T定理、n正互反矩阵A为一致阵，当且仅当A的λmax=n，当正互反矩阵非一致时，必有λmaxn此定理可用来判定某一矩阵是否为一致阵层次分析的判断矩阵通常的做法：每次取2个元素，如xi，xj，以aij表示xi和xj对Z的影响之比。得到A=(aij)n×n两两比较的判断矩阵.这种做法得到的仅仅是互反矩阵，顾及不到其一致性Saaty建议用1~9及其倒数做为标度来确定aij的值，1~9比例标度的含义：xi比xj强（重要）的程度xi/xj相等稍强强很强绝对强aij1234567892、4、6、8表介于相邻两判断之间1~9标度的理由：两两比较的心理习惯层次分析的判断矩阵例如在例2中，准则层B对目标层作因素两两比较，并可建立下面判断矩阵：B1：B2为3B1：B3为3B2：B3为1认为人才培养比成果贡献、课题可行性稍重要，另二项差不多相同重要。层次分析的判断矩阵判断矩阵B1B2B3B1133A=B21/311B31/311层次分析的判断矩阵可验证此矩阵具有完全一致性，然而人们对复杂问题的各因素，采取两两比较时，不可能做到或顾及不到判断矩阵的完全一致性，而存在着误差，这必然导致特征值和特征向量有偏差，因此首先检验判断矩阵的一致性。判断矩阵一致性检验一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大，C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般判断矩阵的阶数n越大，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越小。一致性检验步骤：ⅰ、计算一致性指标C.I.=(λmax-n)/(n-1)(ConsisTeneyIndex)判断矩阵一致性检验ⅱ、查找相应的平均随机一致性指标R.I.(RandomIndex)1~15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标：n12345678RI000.580.901.121.241.321.41n9101112131415RI1.461.491.521.541.561.581.59λmax产生方法：取定阶数n，随机构造500个正互反矩阵Ã=（ãij)n×n，ãij在1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9这17个数中随机抽取，只需取n(n-1)/2个，对角元为1，其余按正互反性得到，λ’max为500次判断矩阵λmax的平均值。计算：R.I.=(λ’max-n)/(n-1)判断矩阵一致性检验ⅲ、计算一致性比率C.R.(consistencyratio)C.R.=C.I./R.I.当C.R.0.1时认为判断矩阵的一致性是可接受的。当C.R.≥0.1时应修正判断矩阵。判断矩阵一致性检验当n3时，判断矩阵永远具有完全一致性例如对前面矩阵131A=1/311/3131计算出λmax=3特征向量u=(3/7，1/7，3/7)TC.I.=(λmax-3)/(3-1)=0∴C.R.=0是一致阵。判断矩阵一致性检验例：125A=1/2171/51/71计算出λmax=3.1189，u=(0.5415，0.3816，0.0761)TC.I.=（3.1189-3）/（3-1）=0.05945查表得R.I.=0.52C.R.=0.05945/0.52=0.1143≥0.1，应修正判断矩阵判断矩阵一致性检验如果判断矩阵是完全一致的，下面的方法求得的是精确结果。一般在AHP法中，判断矩阵的最大特征值及相应特征向量，并不需要很高的精度，故用近似法即可。1、方根法：步骤：ⅰ、将判断矩阵按行相乘;求Mi=(aij)i=1，2，…，nⅱ、计算n1j正互反矩阵的最大特征值及相应特征向量的求法1/niiwM正互反矩阵的最大特征值及相应特征向量的求法3、计算判断矩阵的特征向量λmax=(AW)i/nWi112/(,,...,)niijTn4、计算最大特征根n1i5、一致性检验1w正互反矩阵的最大特征值及相应特征向量的求法=1.4422=0.48071311/311/3131A=M1=3M2=1/92wM3=33w=1.4422EX解：w1=0.4286归一化：w2=0.1428w3=0.4286Aw=(1.2856，0.4285，1.2856)Tλmax=1.2856/3*0.4286+0.4285/3*0.1428+1.2856/3*0.4286=3.0001C.R0.1当然也可以用软件直接计算特征值和特征向量正互反矩阵的最大特征值及相应特征向量的求法2、和积法：步骤：ⅰ、求（每列归一化）bij=aij/akji，j=1，2…nⅱ、行求和Mi=biji=1，2，…，n再归一化：Wi=Mi/Mji=1，2，……，nⅲ、λmax=(1/n)(AW)i/Win1kn1jn1jn1i正互反矩阵的最大特征值及相应特征向量的求法例：131ⅰ3/73/73/7ⅱM1=9/7A=1/311/3B=1/71/71/7M2=3/71313/73/73/7M3=9/7Mj=3w2=1/7Aw=(9/7，3/7，9/7)Tw3=3/7λmax=3显然，当A是一致阵时，λmax=n，第九章层次分析∴w1=3/7ⅲ31j方根法：Mi=(aij)1/n=Wi/SS=(Wj)1/ni=1，2，…，n归一化后w即为(w1，w2，…，wn)Tλmax=(1/n)(Aw)i/wi(Aw=nw)=n2/n=nn1jn1i层次分析n1j对归一化的w：aij=wi/wj和积法：akj=wk/wjbij=aij/akj=wi/wkMi=bij=(nwi)/wk归一化后w即为(w1，w2，…，wn)T同理λmax=n当A近似一致阵时，这些量是近似的。例：125A=1/2131/51/31n1j正互反矩阵的最大特征值及相应特征向量的求法nk1nk1nk1nk1nk1用方根法：ⅰ、M1===2.1544M2==1.1447M3==0.4055ⅱ、归一化：M1+M2+M3=3.7046w1=2.1544/3.7046=0.5815w2=1.1447/3.7046=0.3090w3=0.4055/3.07046=0.1095w=(0.5815，0.3090，0.1095)T正互反矩阵的最大特征值及相应特征向量的求法5*2*110332/33315/1ⅲ、Aw=(1.7470，0.9283，0.3388)T11.74700.92830.328830.58150.30900.10953.0037正互反矩阵的最大特征值及相应特征向量的求法max=+