12教师版：专题16圆锥曲线中的定值问题

学科网2011年高考数学必须突破的难点、重点突破精讲精练专题16圆锥曲线中的定值问题【名师导航】圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．【热点难点精析】在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．例1：过抛物线m：2yax（a＞0）的焦点F作直线l交抛物线于,PQ两点，若线段PF与FQ的长分别为,pq，则11pq的值必等于（）．A．2aB．12aC．4aD．4a解法1：（特殊值法）令直线l与x轴垂直，则有l：14ya12pqa，所以有114pqa解法2：（参数法）如图1，设11(,)Pxy，22(,)Qxy且PM，QN分别垂直于准线于,MN．114pPMya，214qQNya抛物线2yax（a＞0）的焦点1(0,)4Fa，准线14ya．[来源:Zxxk.Com]∴l：14ykxa又由lm，消去x得222168(12)10ayaky∴212122121,216kyyyyaa，∴221212221111,()4164kkpqpqyyyyaaaa∴114pqa．PQMNFOyx图1例2：过抛物线22ypx（p＞0）上一定点000(,)(Pxyy＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)Axy，22(,)Bxy，求证：PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB的斜率为非零常数．【解析】设直线PA的斜率为PAK，直线PB的斜率为PBK．由2112ypx2002ypx相减得，101010()()2()yyyypxx故1010102PAyypKxxyy10()xx同理可得，2020202PByypKxxyy20()xx由,PAPB倾斜角互补知：PAPBKK∴102022ppyyyy∴1202yyy由2222ypx2112ypx相减得，212121()()2()yyyypxx∴21211200222AByypppKxxyyyy∴直线AB的斜率为非零常数．例3：已知定点0,0()Mxy在抛物线m：22ypx（p＞0）上，动点,ABm且0MAMB．求证：弦AB必过一定点．【解析】设AB所在直线方程为：xmyn．与抛物线方程22ypx联立，消去x得2220ypmypn．设11(,)Axy，22(,)Bxy则122yypm……①122yypn……②PBAOyx由已知0MAMB得，1MAMBKK．即102010201yyyyxxxx……③∵221010101011()()()22xxyyyyyypp222020202011()()()22xxyyyyyypp∴③式可化为1020221ppyyyy，即221201204[()]pyyyyyy．将①②代入得，002npmyx．直线AB方程化为：00002()2xmypxmymyyxp．∴直线AB恒过点00(2,)xpy．【难点突破】1、若AB是过椭圆中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与坐标轴不平行,,分别表示直线AM,BM的斜率,则=()A.B.C.D.【答案】B【解析】本题可用特殊值法．不妨设弦AB为椭圆的短轴．M为椭圆的右顶点，则A(0，b)，B(0，－b)，M(a，0)．所以．故选B．2、已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A.+=4B.+=2C.e12+e22=4D.e12+e22=2【答案】B设椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,焦距均为2c,∴∴|PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.∵PF1与PF2垂直,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.∴(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,∴2a12+2a22=4c2.∴+=2.3、已知定圆O1、O2的半径分别为r1、r2,圆心距|O1O2|=2,动圆C与圆O1、O2都相切,圆心C的轨迹为如图所示的两条双曲线,两条双曲线的离心率分别为e1、e2,则的值为A.r1+r2B.r1和r2中的较大者C.r1和r2中的较小者D.|r1-r2|【答案】B若动圆与⊙O1，⊙O2外切或内切，则2a=|r1-r2|,2c=2,当r1＞r2时，==;当r1＜r2,则=.若动圆与⊙O1和⊙O2内切与外切，则2a=r1+r2,2c=2,∴==.∴r1＞r2时，=+=+=r1;r2＞r1时，=+=+=r2,故选B.4、如图2所示，F为双曲线C:=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i(i=1,2,3)关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|的值是图2A.9B.16C.18D.27【答案】C取双曲线右焦点记为F2,∵P3与P4关于y轴对称,∴|P4F|=|P3F2|.∴|P3F|-|P4F|=|P3F|-|P3F2|=2a=6.同理,|P2F|-|P5F|=|P1F|-|P6F|=6.∴|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=18.5、双曲线-y2=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上,PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O为坐标原点,则·等于A.0B.-1C.1D.与PQ的位置及a的值有关【答案】答案：C解析:由题意知2=c得c2=2a2,又c2=a2+b2=a2+1,∴a2=1.∴双曲线为x2-y2=1.设P(x0,y0),则Q(x0,-y0).故=(x0,y0),=(x0,-y0),·=x02-y02=1.6、过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p＞0)于P、Q两点,则+的值为A.B.C.D.【答案】答案:D【解析】不妨取PQ⊥x轴,则P(p,p),Q(p,-p),∴|MP|=p,|MQ|=p.[来源:Zxxk.Com]∴+=.[来源:学科网]7、椭圆C1：+=1(a＞b＞0)的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，一个焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，则-等于()A.-1B.1C.-D.【答案】答案：B【解析】因为C为抛线上的点，所以P到其焦点F2的距离|PF2|与其到准线l的距离d相等，因为P也是椭圆上的点，P到其准线l的距离也是d，由椭圆第二定义，得①再由椭圆第一定义，得|PF1|+|PF2|=2a②，由①②两式解得|PF1=|，故=1.8、设抛物线的顶点为O，经过抛物线的焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B、C，经过抛物线上任一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，若|PQ|2=λ|BC|·|OQ|，则λ的值为A.B.1C.2D.3【答案】答案：B设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，则BC为抛物线的通径，故|BC|=2p；设P(,y0)，则Q(,0)，于是|PQ|2=y02，|OQ|=，又由|PQ|2=λ|BC|·|OQ|得y02=λ×2p×，解得λ=1.9、已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，点M是A1B1的中点，若|AF|=m，|BF|=n，则|MF|=()A.m+nB.C.D.mn【答案】答案：C【解析】本题考查抛物线的定义及性质和图像等知识.如图,连接AlF、BlF,由抛物线的定义,有AAl=AF,BBl=BF,则有∠AA1F=∠AFA1,∠BB1F=∠BFB1,容易证明∠AlFB1=90°.所以MF为直角三角形A1FB1斜边上的中线.故在直角梯形AA1B1B中,构造直角三角形可解得|A1B1|=10、经过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点作一条直线与该抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y1·y2的值为()A.2p2B．p2C．-2P2D．-p2【答案】D【解析】本题考查直线与抛物线的交点个数问题，注意将交点坐标转化为方程的根来讨论.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，设过焦点的直线方程为：y=k(x-),则有，代入抛物线方程有：y2=2P()即∴y1·y2=-p2.11、椭圆=1(a＞b＞0)上两点A、B与中心O的连线互相垂直，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D解析:假设A、B为椭圆的长轴和短轴的顶点，则==.排除选项A、B、C，选D.12、【3分】过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1·k2的值为（）A.2B.-2C.D.-【答案】【解析】设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点P(x0,y0),则k1=,k2==.将P1、P2两点坐标代入椭圆方程x2+2y2=2,相减得=-.∴k1·k2=·==-.答案：D13、已知点P是双曲线(a＞0,b＞0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，H为△PF1F2的内心，若成立，则λ的值为________.【答案】【解析】设R为△PF1F2内切圆的半径,∵,且,,,故|PF1|=|PF2|+λ|F1F2|,即|PF1|－|PF2|=λ|F1F2|,∴.14、已知F1、F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,当△F1PF2的面积为1时,·的值为________________.【答案】答案：0由已知F1(,0),F2(,0),P(),PF1的斜率k1=,PF2的斜率k2=,k1k2=-1,∴PF1⊥PF2,即=0.15、双曲线C:-=1(a＞b＞0)中，F1、F2是它的焦点，设抛物线l的焦点与双曲线C的右焦点F2重合，l的准线与C的左准线重合，P是C与l的一个交点，那么=______________.【答案】【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由抛物线定义有|PF2|=|PN|(N为点P在左准线上的射影),又=e,=e=,①又|PF1|-|PF2|=2a，即m-n=2a.②由①②得m=.∴原式=-=e-2c·=1.答案：116、过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点,且△OAB(O为坐标原点)的面积为,则m6+m4=__________.【答案】【解析】∵直线x-my+m=0过焦点,∴m=.∴直线方程为2x+py-p=0.解方程组消去x,得y2+p2y-p2=0.设A、B的纵坐标为y1、y2,y1、y2为方程的两根,∴｜y1-y2｜=.∴S=×｜y1-y2｜=.∴p6+4p4=16×8.又p=-2m,∴26m6+26m4=27.∴m6+m4=2.答案：217、如图，椭圆C:(abo)的焦点为F1(0，c)、F2(0，一c)(c0)，抛物线P：x2=2py(p0)的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限．且与椭圆C相交于A、B两点，且(I)求证：切线l的斜率为定值(Ⅱ)设抛物线P与直线l切于点E，若△OEF2面积为1，求椭圆C和抛物线P的方程【答案】解：（I）依题意抛物线设直线l与抛物线P的切点为，又切点在第一象限，则所以切线l的斜率为定值。（II）抛物线P与直线l切于点E，由（1）可得，又△OEF2面积为1，所以所以抛物线P的方程为：又即设所以所求椭圆方程为18、设上的两点，已知向量，,若m·n=0且椭圆的