河海大学2015-2016学年硕士生 《数值分析》试题

河海大学2015-2016学年硕士生《数值分析》试题(A)任课教师姓名姓名专业学号成绩一、填空题(每空2分,共20分)1、若1x，改变计算式1ln2xx，使计算结果更为准确。2、设21,1210,)(2323xcxbxxxxxxs，是以2,1,0为节点的三次样条函数，则b，c。3、已知契比雪夫多项式xxxT34)(33，则122)(23xxxxf在]1,1[上的二次最佳一致逼近多项式是。4、已知离散数据),,2,1(,nkyxkk，用直线bxay拟合这n个点，则参数a、b满足的法方程组是。5、给定矩阵3121A，则A的谱半径)(A，A的条件数)(ACond。6、设0)133)(2()(23xxxxxf，用牛顿迭代法解此方程的根21x具有二阶收敛的迭代格式为，求根12x具有二阶收敛的迭代格式为。7、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是4111hOyxyTnnn，则称此单步法具有阶精度。《数值分析》2015级(A)第1页共6页二、(本题10分)已知数据表ix0123)(ixf0-5-63(1)求f(x)的三次Lagrange（拉格朗日）插值多项式；(2)计算差商表，并写出三次Newton（牛顿）插值多项式。三、(本题8分)在区间]1,1[上给定函数14)(3xxf，求其在},,1{2xxSpan中关于权函数1)(x的二次最佳平方逼近多项式。可用勒让德多项式1)(0xp，xxp)(1，)13(21)(22xxP《数值分析》2015级(A)第2页共6页四、(本题10分)用下列方法计算积分31ydy。（1）龙贝格求积公式（要求二分三次）；（2）已知三次勒让德多项式)35(21)(33xxxp，用三点高斯-勒让德公式计算上述积分。五、（本题8分）知方阵315122111221321xxx，试用Doolittle（杜利特尔）分解法解此线性方程组。《数值分析》2015级(A)第3页共6页六、(本题10分)把下面的线性方程组化为等价的线性方程组，使之应用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式（分量形式），并说明收敛的理由。7989783213121xxxxxxx七、(本题10分)已知方程01)1()(xexxf。分析方程存在几个实根；用迭代法求出这些根；证明所用的迭代法是收敛的。《数值分析》2015级(A)第4页共6页八、(本题8分)写出规范化的幂法公式，并用此公式求矩阵20101350144A的主特征值及对应的特征向量，取初始向量111，写出迭代两步的结果（计算结果保留到小数后第四位）。九、(本题8分)给定常微分方程初值问题20102yxydxdy写出改进欧拉公式，并用此公式计算)(xy在1.0x和2.0处的近似值，取步长1.0h，计算结果保留5位有效数字。《数值分析》2015级(A)第5页共6页十、(本题8分)给定线性方程组bAx，其中2123A，13b，用迭代公式),2,1,0()()()()1(kAxbxxkkk求解bAx，试证明210时迭代公式收敛。《数值分析》2015级(A)第6页共6页河海大学2015-2016学年硕士生《数值分析》试题(B)任课教师姓名姓名专业学号成绩一、填空题(每空2分,共20分)1、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是4111hOyxyTnnn，则称此单步法具有阶精度。2、若1x，改变计算式1ln2xx，使计算结果更为准确。3、设21,1210,)(2323xcxbxxxxxxs，是以2,1,0为节点的三次样条函数，则b，c。4、设0)133)(2()(23xxxxxf，用牛顿迭代法解此方程的根21x具有二阶收敛的迭代格式为，求根12x具有二阶收敛的迭代格式为。5、已知契比雪夫多项式xxxT34)(33，则122)(23xxxxf在]1,1[上的二次最佳一致逼近多项式是。6、给定矩阵3121A，则A的谱半径)(A，A的条件数)(ACond。7、已知离散数据),,2,1(,nkyxkk，用直线bxay拟合这n个点，则参数a、b满足的法方程组是。《数值分析》2015级(B)第1页共6页二、（本题8分）知方阵315122111221321xxx，试用Doolittle（杜利特尔）分解法解此线性方程组。三、(本题10分)把下面的线性方程组化为等价的线性方程组，使之应用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式（分量形式），并说明收敛的理由，并取初始向量Tx)0,0,0()0(,分别计算出迭代2次后的结果x(2)（计算过程保留小数点后四位小数）。7989783213121xxxxxxx《数值分析》2015级(B)第2页共6页四、(本题8分)在区间]1,1[上给定函数14)(3xxf，求其在},,1{2xxSpan中关于权函数1)(x的二次最佳平方逼近多项式。可用勒让德多项式1)(0xp，xxp)(1，)13(21)(22xxP五、(本题10分)用下列方法计算积分31ydy。（1）龙贝格求积公式（要求二分三次）；（2）已知三次勒让德多项式)35(21)(33xxxp，用三点高斯-勒让德公式计算上述积分。《数值分析》2015级(B)第3页共6页六、(本题10分)已知数据表ix0123)(ixf0-5-63(1)求f(x)的三次Lagrange（拉格朗日）插值多项式；(2)计算差商表，并写出三次Newton（牛顿）插值多项式。七、(本题8分)给定常微分方程初值问题20102yxydxdy写出改进欧拉公式，并用此公式计算)(xy在1.0x和2.0处的近似值，取步长1.0h，计算结果保留5位有效数字。《数值分析》2015级(B)第4页共6页八、(本题8分)写出规范化的幂法公式，并用此公式求矩阵20101350144A的主特征值及对应的特征向量，取初始向量111，写出迭代两步的结果（计算结果保留到小数后第四位）。九、(本题10分)已知方程01)1()(xexxf。分析方程存在几个实根；用迭代法求出这些根；证明所用的迭代法是收敛的。《数值分析》2015级(B)第5页共6页十、(本题8分)给定线性方程组bAx，其中2123A，13b，用迭代公式),2,1,0()()()()1(kAxbxxkkk求解bAx，试证明210时迭代公式收敛。《数值分析》2015级(B)第6页共6页