有限差分法分析电磁场边界问题研究论文

有限差分法分析电磁场边界问题研究论文摘要：用有限差分法计算长方体槽内电位分布的实际问题，应用迭代法求解差分方程，得出多次迭代后的矩阵，用matlab作图。并用分离变量法作为解析解与有限差分法的计算结果进行比较，分析误差。Theactualproblemiscalculatedusingthefinitedifferencemethodrectangulartankpotentialdistribution,iterationmethodforsolvingdifferentialequations,matrixobtainedaftermultipleiterations,usingmatlabplot.Andbyseparationofvariablesasanalyticalsolutionsandtheresultswerecomparedfinitedifferencemethod,andanalysiserrors.引言：在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解理论分析：有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。差分运算的基本概念：有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程[5]。对单元函数xf而言，取变量x的一个增量x=h，则函数xf的增量可以表示为xf=hxf-xf(3.1.1)称为函数xf的差分或一阶差分。函数增量还经常表示为xf=2hxf-2hxf(3.1.2)称为函数xf的中心差分或一阶中心差分。函数一阶差分xf与自变量增量h的比值xf/h称为一阶差商。在一阶差分运算中，它常用来近似函数xf的一阶导数dxxdf/。函数xf的二阶差商定义为22xxfhhxfhhxf2hxfhxf(3.1.3)它常被用来近似函数xf的二阶导数22/dxxfd。我们还可以采用类似方法给出二阶以上差分的定义，并用它们来近似函数二阶以上的导数。但由于二阶以上的倒数在本次研究中没有用到，因此就不在赘述了。3.1个相同形式的差分方程。有限差分法应用有限差分法基本思想是将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题[6][7]。现在，以静电场边值问题（3.2.1）（3.2.2）为例，说明有限差分法的应用。f(s)为边界点s的点函数，二位场域D和边界L示于图3.2-1中。0yx02413DLhh图3.2-1有限差分的网格分割通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h,节点4,3,2,1,0上的电位分别用3210,,,和4表示。设函数在0x处可微，则沿x方向在0x处的泰勒公式展开为nKnKKK000)(!（3.2.3）将1和3分别代入式（3.2.3）,得03330222001)(!31)(!21)(xhxhxh（3.2.4）03330222003)(!31)(!21)(xhxhxh（3.2.5）由（3.2.4）-（3.2.5）得hxxx2)(310（3.2.6）（3.2.4）+（3.2.5）得2301xx22h2x0)(（3.2.7）同理hyyy2)(310（3.2.8）2301222)(0hyyy（3.2.9）将式(3.2.7)、（3.2.9）代入式（3.2.1），得到泊松方程的五点差分格式)(414243210204321FhFh当场域中,0得到拉普拉斯方程的五点差分格式：)(41044321004321（3.2.10）从这个公式我们可以看出，当我们将一个二维无源区场域剖分为一系列正方形网格时，场域内任何一个节点的电位都等于它周围四个节点电位的算术平均值。这就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程[8]。对于场域内的每一个结点，关系式（3.2.10）式都成立，都可以列出。分离变量法：具体例题如下：3）如图所示，有一长方形的导体槽，a=20，b=10，设槽的长度为无限长，槽上有一块与槽绝缘的盖板，电位为100V，其他板电位为零，求槽内的电位分布。yx100ab解：用有限差分法求金属盒内电位（20x10）（1）在盒内取20×10个离散的电位节点第一步，在场域内部节点上选定电位初始值，为简单起见，可将它们都取为零，记为01=02=···=0200=0，常称为零次解。第二步，将零次解代入差分方程式（3.2.10），得出诸内部节点电位值的一次解，它们为：11=40002102=40000=012=400220103=40000=0120=140=160=…=1200=25其他1n=0；在求出一次解的200个节点电位值以后，原来零次解中的200个节点电位值将被一次解中的相应电位值所取代，在计算机的内存中不予保留，从而达到了节省存储空间的目的。第三步，重复上述步骤，令每一个内部节点上的二次解电位值等于该节点周围四个相邻节点（或边界点）一次解电位值的算术平均值，并用二次解电位值冲去内存中的原一次解电位值。这样迭代一次又一次的继续下去，可望诸节点的电位值变化越来越小，这时可取这些节点上的电位值为该边值问题的数值解，经50次迭代，得到电位分布如下：000000000000.09930.10890.14230.14670.17780.19210.18920.0920000.13250.14480.25320.31840.39770.43340.35420.1537000.13960.24200.38330.51650.56710.55860.38180.1796000.16920.39430.53920.65850.67730.65810.46550.2314000.23870.53550.73200.89691.01730.97400.66030.2704000.36180.77121.14081.42731.51961.26790.79680.3287000.57931.24191.78322.04592.02521.70031.15740.6089000.95981.86282.48762.81792.84382.40661.74080.8674001.36582.52223.45673.96573.94243.46612.46491.3123001.94643.67364.95135.58955.72304.85603.53891.8705002.79435.16366.90568.03727.84146.83465.02022.7216003.89317.313010.008211.092111.08869.70187.17203.8510005.562110.594413.760815.635215.573713.693210.21655.5458008.250714.711819.528321.930021.874219.360314.60067.94890011.321420.840327.181430.356330.331627.093320.793511.45010017.520330.511338.578842.373842.293638.383830.311317.50320027.750844.805554.006857.993257.945953.869944.883327.85870048.687367.016874.626977.508077.455074.576167.098948.718000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.00000Matlab源程序：u=zeros(20,10);//生成20x10的零矩阵j=2:9;u(10,j)=100;//定义槽盖的电势为100fori=1:20forj=2:9u(i,j)=100/19*(i-1)endendu;h=input('Inputhforh(1=h2):');k=input('Inputkfork1:');forn=1:kfori=2:19forj=2:9a=u(i,j);b=u(i,j+1);c=u(i+1,j);d=u(i-1,j);e=u(i,j-1);f=0.25.*(b+c+d+e);u(i,j)=a+h.*(f-a)endendendu//计算多次迭代之后的矩阵y=1:20x=1:10subplot(1,2,1),mesh(x,y,u);subplot(1,2,2),contour(x,y,u)//作出一行两列的图像，分别为立体图和平面图（以上输入分别为h=1.9,k=50）Matlab绘制图像为：由上4得出的数值解可以看出，金属盒内点电位分布是越靠中间电位越高，越靠近金属盒顶部电位越高，这是由于金属盒底部和两边的电位都为零，而顶部最高。由此表明此方法计算出的电位值，符合金属盒内的电位分布情况。024681005101520020406080100123456789102468101214161820当用解析法求解时：槽内电势满足二维直角坐标系中的拉普拉斯方程及其边界条件:应用分离变量法,得到满足方程(1)和边界条件式(2)—式(4)的解的形式为10x10ysin,1nshnAyxnn（2.1.6）带入边界条件（3）得100=πn210ysin1nnshnA（2.1.7）利用三角函数正交性，求得系数nA，最后可得槽内电位的解析解为：10x）1-n2（10y）1-n2（sin）π1-n2（2100)12(4,1