有限差分法的基本知识

第二章有限差分法的基本知识11、差分方程、差分方程22、截断误差、截断误差33、收敛性、收敛性44、稳定性、稳定性§1差分方程有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的代数方程组。)1.1()()0,(0,0⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈=∂∂+∂∂RxxfxutRxxuctu题考虑对流方程的初值问解过程和原理。解的一些概念，说明求方法求偏微分方程数值为例，引入用差分以昀简单一维对流方程称为时间步长。称为空间步长，间距间距记为节点为网格结点（节点），它们的交点称域的直线形成的网覆盖区轴轴和平行于网格剖分可以采用两组00).,(),(,2,1,0,2,1,0±±======Ωττhnjtxjjhxxnntttxnjjn1区域的剖分(区域的离散化）xt0),(njtx高等数学中，我们学习过Taylor公式：有阶的导数，则到内具有直的某个邻域在设),(1),()(000δδxUxnxUxxf∈∀+)()(!)())(()()(00)(000xRxxnxfxxxfxfxfnnn+−++−′+=))(()()(0nnnxxoxRxR−=是余项，且).(0xx→1微分方程离散(差分方程）.1((),(),(2),(),()4.1((),(),(),(),()3.1((),(),(),(),()2.1((),(),(),(),(),()1.1(211111中心差商）向后差商）向前差商）向前差商）与差商之间的关系式的微商，的解，对于任何节点是方程设hotxuxhtxutxuhotxuxhtxutxuhotxuxhtxutxuotxuttxutxuunjunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj+∂∂=−+∂∂=−+∂∂=−+∂∂=−−+−++ττ)6.1(,0),(),()1.1(=∂∂+∂∂njnjtxuxctxutu的解，所以满足是方程由于)7.1(),(0),(),(),(),()3.1()2.1(11hhtxutxuctxutxunjnjnjnj+=−+−++ττ得到和因此从的近似值。表示近似代替，其中这样可以用方程于零。极限过程中它们都趋向特别在进行理论分析的是较小的量，与，实际取步长为了保证逼近精度要求),()8.1(011njnjnjnjnjnjtxuuhuucuuh=−+−++ττ差分格式）。的（有限）差分方程）称为（和称为网格比。这里改写成便于计算的形式将(1.1)9.1()8.1(/)9.1(,,2,1,0,2,1,0),()8.1(11hnjuucuunjnjnjnjτλλ==±±=−−=++)10.1(,,2,1,0),()1.1(0±±===jxffujjj式是中的初始条件的离散形问题)11.1((0)1.1(011显式右偏格式）的差分格式初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==−+−++jjnjnjnjnjfuhuucuuτ)13.1(02)12.1((0)1.1(0111011（中心格式）左偏格式）差商得采用向后差商和中心对采用向前差商，对中在格式。立种种不同形式的差分对同一微分方程可以建⎪⎩⎪⎨⎧==−+−⎪⎩⎪⎨⎧==−+−−++−+jjnjnjnjnjjjnjnjnjnjfuhuucuufuhuucuuxutuττ高等数学中，我们学习过Green公式：向量的方向角。处的切线上为有向曲线弧、其中的取正向的边界曲线。是其中有有一阶连续偏导数，则在上及函数围成，由分段光滑的曲线闭区域设)y,x(L)y,x()y,x(DLds)cosQcosP(QdyPdxdxdy)yPxQ()y,x(Q)y,x(PLDLLDβαβα∫∫∫∫+=+=∂∂−∂∂2积分插值法∫∫=∂∂+∂∂+++=DdxdtxuctuDDLLLLL0)1.1(4321）（上积分，得到在的边界。将方程是积分区域，在平面上，取矩形域为oHxtEFGL1L2L3L4方向的两个分量。与沿方向沿的外法向单位向量分别是与其中（）（公式，得利用txnLnndscunundxdtxuctuGreentxDLxt)14.1(0)∫∫∫=+=∂∂+∂∂上的近似函数值。在是可按不同方式确定的的长度，与是的长度，与是这里既得近似方程上的四个积分，左端分成在把，，，，iiLuuLLLLhuuhcuucuhucuhuLLLL4231421343214321~~)15.1()(~~0~~~~)14.1(ττττ−−==−++−),21,21(),21,21(),21,21(),21,21(,,,−++++−−−jnjnjnjnHGFE依次为在网格中，点oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGH式，称为蛙跳格式。这是一个常用的差分格得到从，于是并取)16.1()()15.1(,~~),(21),(21),(21),(21111114131211njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjuuhcuuhhuuuuuuuuuuuu−+−+−++−−−===+=+=+=+=τττ),1,1(),1,1(),1,(),1,(,,,−++++−jnjnjnjnHGFE依次为，在网格中，点现在换一种方式，如图oxtj-1jj+1nn+1EFGH格式。这个格式称为也可写成得到从，于是并取FriedrichsLaxhuucuuuuuhcuuuhhuuuuuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj−=−++−−−+======+=−+−++−+−++−++−+)17.1(02)(21)()(21)15.1(,~2~,,,),(211111111111141312111ττττ§2截断误差是相应的差分算子其中是微分算子其中差分方程记为微分方程和对于齐次问题，可以将hnjhLuLLLu,00==huucuuuLLxuctuLuLnjnjnjnjnjhh−+−=∂∂+∂∂=++11)8.1()1.1(τ为相应差分算子格式为微分算子方程的估计。指对差分格式的截断误差是，即为处的差，记两者在任意的结点分别作用于和充分光滑的解，将算子是所讨论的微分方程的设EtxLutxuLEEtxuLLunjnjhnjh)1.2(),(),(),(−=)()),(),((),(),(),(),(),(),()8.1(11hoxtxucttxutxutxuctxutxutxLutxuLEnjnjnjnjnjnjnjnjh+=∂∂+∂∂−−+−=−=++τττ的截断误差即讨论格式.pqppxqt)h(oEpq是阶精度的时，说差分格式特别，当阶精度的。是阶精度的，对空间是间，就说差分格式对时式的截断误差一般，如果一个差分格说明截断误差。我们也用“精度”一词=+τ=§3收敛性一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：一是引入收敛性的概念，考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解；二是引入稳定性的概念，考察差分格式在实际计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。则称差分格式是收敛的有时，对任何的准确解。如果当步长是相应差分方程是微分方程的准确解，设),(),(0,0njnjnjtxuunjhuu→→→τ§4稳定性稳定的。这种差分格式就认为是本上能计算出来，那么基控制的，差分格式的解如果误差的影响是可以地，式称为不稳定的。相反掩盖，那么此种差分格被式的精确解的面貌完全越来越大，以至差分格响的情况。如果误差的影就要分析这种误差传播的值，从而影响时的舍入误差，必然会计算因此层上计算出来的结果时，要用到第的层上进行的，计算差分格式的计算是逐层111+++njnjnjnjuu.unun.max)()()1.4(,,1,0,,1,0200njjhnjnjhnhhhnnjjhKKnjjεεεεεεεε==≤±=±=∑∞−∞=也可以取，它可以是范数某种尺度是的，其中那么称差分格式是稳定使得存在常数层上的误差，如果是第，令，设初始层上引入了误差的稳定性。的差分格式考虑逼近对流方程例)2.4(00211=−+−=∂∂+∂∂−+huuuuxutunjnjnjnjτ0)()()()(),2.4(011110000000=+−+++−+++++−−++huuuuuuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjjjjjjjjεετεεεεεεε即应满足那么中没有引进别的误差，。设想在这一计算过程为的为初值进行计算，得到，用而不是为，即初值有误差层上每个网格点上的设在第解：为网格比其中）（）（程，改写其形式这就是误差所满足的方此式减去得hhnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj/1)3.4(011111τλλεελεελεεεετεε=+−=−−==−+−−−+−+njjnjjnjjnjnjnjεελελελελελsupsupsup11)4.4(1111=+−≤+−≤≤−−+）（）（那么有如果，从而可以知道，由此得011supsupsupsupsupjjnjjnjjnjjnjjεεεεε≤≤≤≤−+下的稳定性。上面是论述了在极大模，，那么如果令下是稳定的。在条件格式分长的，我们就认为，差这就是说，误差是不增hhnnjjhn0sup)4.4()2.4(εεεε≤=１.差分方程、截断误差、收敛性、稳定性的概念；２.构造差分方程方法(直接法和积分插值法)、求截断误差；（重点）３.如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、并求由此产生的截断误差．（难点）主要内容*作业*的差分方程）试用积分插值法逼近01=∂∂+∂∂xutu011=−+τ−−+huuuunjnjnjnjB.Taylor简介1685.8.18生于英格兰；1731.11.29在伦敦去世.1705进入剑桥大学；1709法学学士；1714法学博士；1712英国皇家学会会员；1714~1718英国皇家学会秘书；微积分发明权仲裁委员；1715出版《增量法及其逆》，该书奠定有限差分法、幂级数展开、弦振动问题；在物理、流体动力等大量工作。写作风格过于简洁导致许多工作未获更高声誉。