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《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生第八章参数摄动系统鲁棒性分析8.1准备●Mikhainov引理（1938）：假设()Ps是一n次稳定实系数多项式，则()Pjω的相角是Rω∈的严格增函数，且当:0ω→+∞时，()Pjω的相角增量是2nπ。证：设()()1niiPsKsz==∏−,,Re0iKRz∈,则()()1argargargniiPjKjzωω==+−∑●Pathwise连通：集合n∈XR称为Pathwise连通，if对01xx∀∈X，∃连续函数[]:0,1,..stφ→X()()010,1xxφφ==●凸集是Pathwise连通的，且()()011ttxtxφ=+−●排零原理（FrazerandDuncan1929）：设(),Psq是实系数n次多项式：()()()()110,nnnnPsqaqsaqsaq−−=+++假设：01()iaq是参数（向量）q的连续函数；02q在有界的Pathwise连通集Q上取值；03()0,naqq≠∀∈Q；04()00,..,qstPsq∃∈Q为稳定的。则多项式族P()(){},,sPsqq=∈QQ为鲁棒稳定的，即对∀q∈Q，(),Psq均为ReImωjiziz0《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生稳定多项式的充要条件是：(),0,,Pjqqωω≠∀∈∀∈RQ即：0∉P(),,jωω∀∈QRor0∉P(),jRQ8.2Kharitonov定理考虑区间多项式：()110,,,0nnnniiinnpsqqsqsqqqqqq−−=+++≤≤i记：P()11100,,,,nnnnnnsqqsqqsqq−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q(){},,0iiinnpsqqqqqq=≤≤⋅●Kharitonov定理（1978）：区间多项式族P(),sQ是鲁棒稳定的iff如下4个Kharitonov多项式为稳定的：()23451012345Ksqqsqsqsqsqs=++++++()23452012345Ksqqsqsqsqsqs=++++++()23453012345Ksqqsqsqsqsqs=++++++()23454012345Ksqqsqsqsqsqs=++++++证：（1）必要性显然，因()iKs∈P(),sQ，1,2,3,4i=。（2）充分性：设0ω≥，则()2460246maxRe,qPjqqqqqωωωω∈=−+−+Q()()34ReReKjKjωω==()3571357maxIm,qQPjqqqqqωωωωω∈=−+−+()()23ImImKjKjωω==()2460246minRe,qQPjqqqqqωωωω∈=−+−+()()12ReReKjKjωω==()3571357minIm,qQPjqqqqqωωωωω∈=−+−+()()14ImImKjKjωω==∴P()()()()()()1234,conv,,,jKjKjKjKjωωωωω=Q()()Rectangle,1,2,4iKjiω==《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生注意：此平行四边形的边永远平行于实轴或jω轴。因已假设()iKs（1,2,3,4i=）稳定，由排零原理知，如果：0∉P(),jωQ则P(),sQ鲁棒稳定。现反设：存在某0ω∈R，0∈P()0,jωQ因()iKs（1,2,3,4i=）均是稳定的，由Mikhainov引理知，随着:0ω→∞，()()Rectangle,1,2,,4iKjiω=会严格单调地绕原点旋转。又因(),pjqω是ω和iq的连续函数，而当0ωω=时，0∈P(),jQω，所以，一定存在[]100,ωω∈，使得原点在()()1Rectangle,1,2,,4iKjiω=的边界上。假设在()()1141KjKjωω−边上。但因()1Ks和()4Ks均为稳定的，由Mikhainov引理知，当ω从1ω增加时，()1Kjω应进入第三象限，而()4Kjω应进入第一象限，这使得()()14KjKjωω−边不平行于实轴了，这与()1ImKjω=()4ImKjω相矛盾。故，0∉P(),jωQ，ω+∀∈RP(),jωQ()3Kjω()1Kjω()4Kjω()2KjωReIm●●●●()31Kjω()11Kjω()41Kjω()21KjωReIm●●●●0P()1,jωQ《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生∴P(),sQ为鲁棒稳定。例对于区间多项式：P()[][][][][][]5432,1,23,45,67,89,1011,12ssssss=+++++Q相应的Kharitonov多项式为()23451119863Kssssss=+++++()2345211108532Kssssss=+++++()2345312107542Kssssss=+++++()23454129764Kssssss=+++++8.3Edge定理考虑上图所示系统，其中()()()ccNsCsDs=——给定()()(),,,fshshgsh⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭GHH(){}1,,,,1,,TLiiihhhhhhhiL==≤≤=H,fg的系数关于h是线性或仿射函数。闭环系统特征多项式族为：()()()()(),,,ccsDsgsNsfsΔ=+HHH因此，闭环系统鲁棒稳定iff多项式族(),sΔH鲁棒稳定。注：（1）(),sΔH不是区间多项式族。（2）(),shΔ的系数关于h是仿射的。()Cs(),sGH《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生例：考虑()()()2s+1ccNsCsDs==()()()1223,,,fshshshhgshshsh⎧⎫⎧⎫+⎪⎪⎪⎪=∈=∈⎨⎬⎨⎬++⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭GHHH则闭环系统特征多项式为：()()()()()()22313222313,,,(1)2(1)(2)2ccshDsgshNsfshsshshshshshhshhΔ=+⎡⎤=+++++⎣⎦=+++++++例：考虑()()()2s+1ccNsCsDs==()()()()122122,35,,242fshshhshhgshshhsh⎧⎫⎧⎫++⎪⎪⎪⎪=∈=∈⎨⎬⎨⎬++++⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭GHHH则闭环系统特征多项式为：()()()()()()21221232121212,,,(1)(24)2235(34)(46)612ccshDsgshNsfshsshhshshhshhshhshhΔ=+⎡⎤=++++++++⎣⎦=++++++++令()()()()110,nnnnshahsahsah−−Δ=+++则()0Tiiiahpha=+()()()000000TTnnnahpaahhPhaahpa⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∴():ahah→()a→HH立方体⇒凸多面体()box()convexpolytope●凸组合：()11conv,1,,,1,10kkiiiiiiitiktλλλ==⎧⎫===≥≥⎨⎬⎩⎭∑∑设Η的顶点为()1,2,,2LiHi=，则()conv,1,2,,2LiHi==Η《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()conv,1,2,,2LiaaHi==H()()(),conv,,1,2,,2LissHiΔ=Δ=H称(),isHΔ为顶点多项式。问题：如何检验(),sΔH的鲁棒稳定性？猜测：（1）扩展为区间多项式族，应用Kharitonov定理?（2）判断所有顶点多项式的稳定性?例：考虑下图所示系统的鲁棒稳定性。其中()21cNsss=+−()23124cDssss=+++[]1,3k∈=K则()()()()23,124ssssΔ=++++−+KKKK扩展为区间多项式族：()[][][]23,2,43,51,3ssssΔ=+++Q其中2343sss+++——不稳定。但对应于(),sΔK的Routh表为：[][][]21121,34101,7702,41+−+⇒+−+KKKKKK∴(),sΔK鲁棒稳定。•扩展为区间多项式族+Kharitonov定理⇓保守，仅能作为充分条件()()()(),conv,1,,3sssΔ=ΔΔK()2323conv233,45ssssss=++++++()()ccNsDsK《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生例：()221cNsss=++()32100.95.80.47cDssss=+++[]0.1,1k∈=K()()(),ccsDsNsΔ=+KK()()()conv,0.1,,1ss=ΔΔ()()3232,0.11060.57,1101.97.81.47ssssssssΔ=+++Δ=+++(),0.1sΔ——稳定(),1sΔ——稳定(),0.5sΔ——不稳定•顶点多项式稳定不能保证全体稳定•Edge定理（1988年）：多项式族()()()()10,nnsasasaΔ=+++HHHH()()conv,,1,2,,2LisHi=Δ=当()0na∉H时，鲁棒稳定的充要条件是H的（外露）棱边所对应的多项式区段()()()(),,,1,kjkjPssqsqλλλ=⋅Δ+−⋅Δ{},1,,2LkjiqqHi∈=，[]0,1λ∈均是鲁棒稳定的。在例1中，应考虑()()()2323233145ssssssλλ++++−+++对所有[]0,1λ∈的稳定性在例2中，则应考虑()()()23230.5761011.477.81.910ssssssλλ++++−+++(),jωΔQReIm●●0(),jωΔK()()2343jjjωωω+++●《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生对所有[]0,1λ∈的稳定性•多项式区段的稳定性设()10,0nnnPsasasaa=+++，与之对应的Hurwitz矩阵定义为：()135241321000000000nnnnnnnnnnnaaaaaaaaHPaaaa−−−−−−−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦定理：假设)a()gs为稳定多项式；)b()gs的系数为正；)c()()()()degdeggsfsgs−；则多项式区段()()()[]1,0,1gsfsλλλ+−∈鲁棒稳定，iff()()()1max1HgHfgλ+−−−≤其中()maxλ+i表示最大正实根。当无正实根时，取max0λ+=。8.4Box定理继续考虑：()()()()(),,,ccsDsgsNsfsΔ=+HHH()()conv,,1,2,,2LisHi=Δ={},,1,,LiiihhhhhiL=∈≤≤=HR()conv,1,2,,2LiHi==由Edge定理检验(),sΔH的鲁棒稳定性，需检查12LL−⋅条多项式区段的稳定性，设7L=，则12448LL−⋅=——组合爆炸。当s和f的系数分别独立摄动时，则可得到复杂性与摄动参数个数无关的检验方法。设()0,,miiiifsqqs=⎡⎤=⎣⎦∑Q，()0,,niiiigspps=⎡⎤=⎣⎦∑P《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生Kharitonov多项式：(){},1,,4fifsi==K(){},1,,4gigsi==KKharitonov对象：(),ipifjgjffsgg⎧⎫⎪⎪=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭KKKKharitonov区段：()()()()()()()(){}{}1,,1,2,2,3,3,4,1,4fiifsfsijλλ=+−∈S()()()()()()()(){}{}1,,1,2,2,3,3,4,1,4giigsgsijλλ=+−∈SKharitonov区段对象：()()()(),,,ifspifgfsfsgsgsλλ⎧⎫⎪⎪=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭KKS()()()(),,,gspfigifsfsgsgsλλ⎧⎫⎪⎪=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭KSKfgspspsp=KKK∪（16+16=32个）•Box定理（1988年）：假设由控制器()()()ccNsCsDs=与受控对象族()()()0000,,,,,,,,mmmnnnqqsqqfsGsgsppspp⎧⎫⎡⎤⎡⎤++⎪⎪⎣⎦⎣⎦=⎨⎬⎡⎤⎡⎤++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭QQPP中任意受控对象()(),