概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案1．已知总体X～),(2N，其中2已知，而未知，设1X，2X，3X是取自总体X的样本．试问下面哪些是统计量？(1)321XXX；(2)31X；(3)222X；(4)21X；(5)},,max{321XXX；(6)221XX；(7)3122iiX；(8)2X．解：(1)(3)(4)(5)(6)(7)是，(2)(8)不是．2．求下列各组样本值的平均值和样本差．(1)18，20，19，22，20，21，19，19，20，21；(2)54，67，68，78，70，66，67，70．解：(1)9.19)21201919212022192018(101101101iixx；43.1)(9110122iixxs．(2)5.67)7067667078686754(1018181iixx；018.292)(718122iixxs．3．(1)设总体X～)1,0(N，则2X～)1(2．(2)设随机变量F～),(21nnF，则F1～),(12nnF．(3)设总体X～),(2N，则X～),(2nN，22)1(Sn～)1(2n，nSX/～)1(nt．(4)设总体X～)10(2，Y～)15(2，且X与Y相互独立，则)(YXE25，)(YXD50．4．设随机变量X与Y都服从标准正态分布，则(C)2A．YX服从正态分布B．22YX服从2分布C．2X与2Y均服从2分布D．22YX服从F分布5．在总体X～)3.6,52(2N中随机抽取一容量为36的样本，求样本平均值X落在8.50到8.53之间的概率．解：因为X～)3.6,52(2N，即52，223.6，因为36n，22205.1363.6n，所以X～)05.1,52(2N．由此可得)8.538.50(XP)05.1528.50()05.1528.53(8302.0)1429.1()7143.1(．6．设总体X～)1,0(N，1X，2X，…，10X为总体的一个样本，求：(1))99.15(1012iiXP；(2)写出1X，2X，…，10X的联合概率密度函数；(3)写出X的概率密度．解：(1)由题可知1012iiXX～)10(2，查2分布表有99.15)10(210.0，可得10.0，即10.0)99.15(1012iiXP．(2)1X，2X，…，10X相互独立，则联合概率密度函数为}exp{321}21exp{21),,,(1012510121021iiiixxxxxf．(3)XY～)1.0,0(N，所以有2251.02)0(e5e1.021)(yyyf．37．设总体X～)1,0(N，1X，2X，…，5X为总体的一个样本．确定常数c，使25242321)(XXXXXcY～)3(t．解：因为iX～)1,0(N，5,,2,1i，所以21XX～)2,0(N，)(2121XX～)1,0(N，252423XXX～)3(2，因为25242321252423212632XXXXXXXXXX～)3(t，所以有23c．8．设1X，2X，3X，4X是来自正态总体)4,0(N的样本．已知243221)43()2(XXbXXaY为服从自由度为2的2分布，求a，b的值．解：由题可知iX～)4,0(N，4,3,2,1i，故有0)2(21XXE，20)2(21XXD，所以212XX～)20,0(N．同理4343XX～)100,0(N．而20)2(221XX～)1(2，100)43(221XX～)1(2，故有100)43(20)2(243221XXXX～)2(2，比较可知201a，1001b．9．设总体X～)3.0,(2N，1X，2X，…，nX为总体的一个样本，X是样本均值，问样本容量n至少应取多大，才能使95.0)1.0(XP．解：易知X～)3.0,(2nN，由题意有495.01)3(2)/3.01.0/3.0()1.0(nnnXPXP，即应有975.0)3(n，查正态分布表知975.0)96.1(，所以取96.13n，即5744.34n，取35n．10．设总体X～)16,(N，1X，2X，…，10X为总体的一个样本，2S为样本方差，已知1.0)(2SP，求的值．解：由抽样分布定理知22)1(Sn～)1(2n，因为10n，故有2249S～)9(2，得1.0)169169()(22SPSP，查2分布表得684.14)9(21.0，即684.14169，解得105.26．11．设(1X，2X，…，1nX)为来自总体X～),(2N的一个样本，记niinXnX11，niinXXnS122)(11，求证：nnnSXXnnT11～)1(nt．证：由题可知nX～),(2nN，nnXX1～))11(,0(2nN，标准化得nXXnn111～)1,0(N．又因为niinXXSn1222)(1)1(～)1(2n，5从而有nnnnnSXXnnnSnnXX122111)1(11～)1(nt，即nnnSXXnnT11～)1(nt．