第3章风险厌恶与风险资产配置st

投资学第3章风险厌恶与风险资产的资本配置2本章主要内容投资过程的分解：选择一个风险资产组合在风险资产与无风险资产间决定配置比例配置比例的技术性要求：效用优化41.1风险、投机与赌博风险：能以概率测度的不确定性投机：承担一定风险(considerablerisk)，获取相应报酬(commensuratereturn)赌博：为一不确定结果下注1风险与风险厌恶51.2风险厌恶与效用价值•引子：如果证券A可以无风险的获得回报率为10％，而证券B以50％的概率获得20％的收益，50％的概率的收益为0，你将选择哪一种证券？•对于一个风险规避的投资者，虽然证券B的期望收益为10％，但它具有风险，而证券A的无风险收益为10％，显然证券A优于证券B。•结论：风险厌恶型的投资者会放弃公平博弈(fairplay)或更糟的投资组合。6投资者的风险态度•风险厌恶(Riskaversion)•风险中性(Riskneutral)•风险爱好(Risklover)7风险厌恶型投资者的无差异曲线（IndifferenceCurves）ExpectedReturnStandardDeviationIncreasingUtilityP24311.能否相交2.谁的效用更高3.为何向右下方凸出8•从风险厌恶型投资来看，收益带给他正的效用，而风险带给他负的效用，或者理解为一种负效用的商品。•根据微观经济学的无差异曲线，若给一个消费者更多的负效用商品，且要保证他的效用不变，则只有增加正效用的商品。•根据均方准则，若均值不变，而方差减少，或者方差不变，但均值增加，则投资者获得更高的效用，此即风险厌恶者的无差异曲线。9表1风险资产组合(无风险利率为5%)10附录：圣彼德堡悖论三、圣.彼得堡悖论(St.Petersburgparadox)连续执硬币直至落在地上出现“正面”为止。如果第一次出现正面，奖励1元，第二次出现正面奖励2元，第三次出现正面奖励4元，第四次出现正面奖励8元，等等。每多一次抛掷出现正面，就加倍地偿付。这个试验的可能结果可以总结如下：第一次出现正面结果描绘结果的概率奖励1234...nHTHTTHTTTH...((n-1)个T)H1/21/41/81/16...1/2n1248...2n-1该游戏的期望收益为：＝＋＋＋＋＝21...212121221...8161481241121)(1nnRE11瑞士数学家贝努里和克拉默等人，用期望效用最大化原理解决了这一问题。贝努里解法是建立在下述概念的基础上：人们对奖励所关心的是效用而非货币价值，而额外货币增加所得的额外效用随着奖励的货币价值的增加而减少，也即货币边际效用递减原理。换句话说，初始货币可以满足人们更多的基本需求，因此当整个效用随个人财富的增加而增加时，它是以递减比率增加的。贝努里所做的特别假设是：货币效用是货币奖励大小的对数函数。即：U(x)=b×log(x/a)＝b[logx-loga]=blogx-bloga这里U(x)是由货币x导出的效用，a和b是正系数。这样，用n表示第一次出现正面时共抛掷的次数（n=1,2,3,…），n次抛掷所得奖励的效用由U(x)表示。这样如果抛掷n次后才出现正面，那么货币奖励将是x=2n-1。此奖励的效用函数为：U(x)=blog(x/a)=blog(2n-1/a)=blog2n-1-bloga=b[(n-1)log2-loga]根据期望效用原理，某人对参加此游戏所愿付出的最大代价是x，即期望收益。由此数量得到的效用U(x)等于游戏期望效用EU(x)。对游戏期望效用我们记为：将前式代入此式，并记住n次抛掷首次出现正面的概率为（1/2n），我们得到：)()()(1xUxPxEUx12将前式代入此式，并记住n次抛掷首次出现正面的概率为（1/2n），我们得到：这个方程说明，blog(2/a)就等于2美元的效用或EU(x)=EU(2)=U(2)。由此可见，具有贝努里效用函数所表示的偏好特性的人最多愿意付2美元来参加这项游戏。或者说，此人对确保营利2美元与参加游戏的计划表示无差异。这样，引进期望效用函数后就解决了圣彼得堡悖论。ababbxEUnabnbanbxEUnnnnnnnnnn2loglog2log)(121121log212log21]log2log)1[(21)(11111用等于我们可知游戏的期望效不过因为13圣.彼得堡悖论对资产定价的启示1、对资产的定价，必须假定投资者首先都是理性的，其次都是风险回避型的，风险回避型的理性投资者只有当预期收益大于投资成本时，才能进行投资；2、对于某些资产的定价(如上例)，应用期望效用比应用期望收益更合理，期望效用是一个比期望收益更宽泛的概念，特别是在期望收益很高的不确定性投资中，风险回避和边际财富效用递减规律会起更大的作用；3、圣.彼得堡悖论所给出的游戏定价的解，即2美元，实际上对该赌博者的效用函数来说来说是一个公平游戏的价格，也即均衡价格，期望效用为0的价格。4、用期望效用而不是用期望收入来给资产定价，不仅解决了这个金融投资学上的悖论，也为资产定价提出了一个新的思路。这种思想和方法为后来的金融资产定价奠定了基础。因此我们说圣.彼得堡悖论的提出和解决是资产定价理论的起源。1415效用函数（Utilityfunction）•一个风险厌恶投资者常用如下形式的效应函数：其中，A为投资者风险厌恶指数，收益率为小数形式。若A越大，表示投资者越害怕风险，在同等风险的情况下，越需要更多的收益补偿。若A不变，则当方差越大，效用越低。221)(ArEU16•为使风险投资与无风险投资具有相同的吸引力而确定的风险投资的经风险调整后的报酬率，称为风险资产的确定等价收益率。•由于无风险资产的方差为0，因此，其效用U就等价于无风险回报率，因此，U就是风险资产的确定性等价收益率。确定等价收益率（Certaintyequivalentrate）17表2各种风险厌恶投资者的投资组合的效用值准则：只有当风险资产的确定性等价收益至少不小于无风险资产的收益时，这项投资才是值得的。当无风险收益为0.06时，哪些投资是可行的？18图1投资组合P的收益与风险权衡19均值方差准则（Mean-variancecriterion)•若投资者是风险厌恶的，则对于证券A和证券B，如果22AB()()ABErEr并且则该投资者认为“A占优于B”，或A比B有优势(AdominatesB)。20占优原则（DominancePrinciple）1234期望回报方差或者标准差•2占优1;2占优于3;4占优于3;21表3风险厌恶系数A=4的投资者的可能组合效用值22图2无差异曲线无差异曲线形状受哪些因素影响？？232风险与无风险资产组合的资本配置控制资产组合风险的方法：–部分投资于无风险资产，部分投资于风险资产–记风险资产组合为P，无风险资产组合为F，风险资产在整个组合中的比重为y，则我们可通过y的调整来调整组合风险研究表明，资产配置可以解释投资收益的94%。24例：资产组合的动态调整Totalportfoliovalue=$300,000Risk-freevalue=90,000Risky(Vanguard&Fidelity)=210,000Vanguard(V)=54%Fidelity(F)=46%25资产组合的动态调整(续)Vanguard113,400/300,000=0.378Fidelity96,600/300,000=0.322PortfolioP210,000/300,000=0.700Risk-FreeAssetsF90,000/300,000=0.300PortfolioC300,000/300,000=1.00026资产组合的动态调整(续)体收益被调整。部分收益分布不变，整部分的比例上升为部分的比例下降为，但部分中的比例保持不变两者在减少减少其中：）（美元部分，则卖出降为部分从将riskyfreeriskriskyriskyriskyrisky44.0,56.04200046.019320Fidelity420004.5022680Vanguard4200056.0.703000004200056.07.0273无风险资产无风险资产只是一种近似短期国库券可视为一种无风险资产，但其利率存在一定的低估习惯以货币市场基金作为对绝大部分投资者易接受的无风险资产–无风险利率有时可用LIBOR来代替28Figure3SpreadBetween3-MonthCDandT-billRates294单一风险资产与单一无风险资产的资产组合(),(1):()()(1)[()][()]()4(investmentopportunityset)PPfCPffPfCPPfCfCPPErFryyCEryEryrryErryErrErr记风险资产组合的期望收益率为标准差为，无风险资产组合的收益率为，则由份风险资产和份无风险资产组成的新组合由该式得到图可行投资组合30图4风险资产与无风险资产的可行投资组合31资本配置线(capitalallocationline,CAL)其斜率称为报酬与波动性比率(rewardtovariabilityration)或夏普比率(Sharperatio)32以无风险利率借入款项并全部投资于风险资产。若使用40%杠杆,则有：E(rc)=(-0.4)(0.07)+(1.4)(0.15)=18.2%c=(1.4)(0.22)=30.8%CAL的杠杆作用33图5借贷利率不同时的可行集(弯折的CAL)345风险容忍度与资产配置表5A=4时投资者不同风险资产比例(y)的效用水平35图6效用作为风险资产投资比例y的函数365风险容忍度与资产配置2*222)(21])([00021)(PfPPfPfyArrEyAyrrEyrUMaxAAAArEU最优风险资产配置比例求解效用最大化问题：：风险爱好者：风险中性者：风险厌恶者投资者效用函数：37无差异曲线水平度相应的最优资产配置为与投资者风险厌恶程资本配置线相切的点，投资者无差异曲线簇与价收益率为无差异曲线的确定等其中无差异曲线。连结各点得到投资者的。空间中，为一系列的点和在的组合和不变，可调整如此，为保持为外生变量。其中投资者效用函数：U)()(U21)(2rErEAArEU38表6无差异曲线的电子数据表计算39图7无差异曲线forU=.05andU=.09withA=2andA=440图8用无差异曲线寻找最优的投资组合416消极策略：资本市场线消极策略(passivestrategy)：决策不做任何直接或间接的证券分析资本市场线(capitalmarketline,CML)：1月期短期国库券与一个普通股指数所生成的资本配置线消极策略合理性的原因：积极策略的投资成本Freerider收益投资者的历史风险厌恶态度（P119)]0.4,0.2[A