05桥梁结构的材料几何非线性分析.ppt

桥梁结构的材料几何非线性分析桥梁结构的非线性问题桥梁结构材料非线性分析桥梁结构几何非线性分析活载非线性分析小结本章参考文献本章附录：几种常见单元的切线刚度矩阵桥梁结构的非线性问题从20世纪中起，科学为困扰人们的非线性问题奠定了力学基础上世纪60年代末，有限元法与计算机相结合，使工程中的非线性问题逐步得以解决；目前，求解桥梁结构非线性问题，已经不是特别困难，而重要的是提高精度、节省计算机时和寻找合理有效的本构模型及其复杂问题的简化方法。经典线性理论基于:小变形弹性本构关系理想约束三个基本假定，使得:本构方程几何运动方程平衡方程成为线性。若研究的对象不能满足以上假定中的任何一个时，就转化为各种非线性问题。（1）材料非线性问题若被研究结构的材料本构方程成非线性方程，而引起基本控制方程的非线性，则称其为材料非线性问题。如第13章所介绍的混凝土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的非线性。在桥梁工程问题中:混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题桥梁结构中常用的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段，呈现出材料非线性本质。材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类，前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本质是相同的，求解方法亦完全一样。（2）几何非线性问题若放弃小变形假设，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变化，得到非线性的几何运动方程及控制方程，则称其为几何非线性问题。由于控制平衡方程是建立在结构变形后的位置上，结构的刚度除了与材料及初始构形有关外，还与受载后的应力、位移状态有关。如:柔性桥梁结构的恒载状态确定问题恒、活载计算问题结构稳定等均属几何非线性问题。众所周知的吊桥挠度理论以及第19章的拱桥挠度理论则是典型的桥梁几何非线性问题。几何非线性理论一般可分为大位移小应变即有限位移理论和大位移大应变即有限应变理论两种。桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。一些简单几何非线性问题可以找到解析解，如压弯杆稳定问题，拱圈刚度按一定规律变化的拱桥大挠度问题，悬索桥在简单荷载作用下的大挠度问题等。但多数问题还需借助有限元及其它数值法求解（3）接触问题若受力后的边界条件在求解前是未知的，即不满足理想约束假定而引起的边界约束方程的非线性问题称其为接触问题。如:悬索桥主缆与鞍座的接触状态问题支架上预应力梁在张拉后的部分落架现象等均属此类，此问题在桥梁工程上表现不多，但不应忽视。（4）桥梁结构非线性材料非线性问题在混凝土桥中表现最为突出，由于混凝土材料本身的特性，可以说，混凝土桥从施工到运营全过程中，非线性始终贯穿其中。由于收缩、徐变、开裂等因素的综合作用，使得全因素精确分析非常困难，而不得不采用单因素或少因素非线性分析后，再近似叠加考虑综合因素影响。圬土材料桥梁结构的材料非线性特性是材料非线性问题在桥梁工程上的又一难点，这方面的研究文献亦不多见，长安大学公路学院胡大琳教授的研究[3]具有代表性。相对材料非线性问题来说，桥梁结构的几何非线性问题更多一些，特别是跨径增大，结构变柔，系统复杂后，分析中的梁柱效应、索垂度效应、结构位移与后期荷载的二次影响等变得不可忽略。所建立的挠度理论平衡微分方程求解也越来越困难。寻求更精确、更方便的理论和方法一直是研究者努力的方向，也是工程界所渴望的桥梁结构材料非线性分析(1)材料非线性问题的平衡方程以钢材和混凝土为主要材料的桥梁结构，所涉及的材料非线性主要是弹塑性问题。以有限元分析桥梁结构时，所建立的平衡方程为}{}{][FVBTd}]{[}{B由于并未放弃小变形假定，对桥梁的材料非线性问题，上列两式仍然成立，但物理方程是非线性的，可以写成0}){},({f注意到平衡方程式是以应力表示的，由于小变形的关系仍然是线性的，但是以结点位移表示的平衡方程则不再是线性的，因为应力和应变之间是非线性的，而应力和位移之间也是由非线性关系所联系，于是改写为}{}{}{}{}})]{({[FK此即为材料非线性问题的平衡方程(2)迭代求解方法用迭代方法求解材料非线性问题的平衡方程，可分为变刚度迭代法常刚度迭代法（a）变刚度迭代法变刚度法分为割线刚度法（直接刚度法）和切线刚度法。如果材料的本构关系能够表示成}})]{({[}{D则应力位移关系刚度矩阵平衡方程迭代公式}]{})][({[}{BDVBDBKTd]})][({[][})]({[}{}{][FKnn1迭代步骤如下①首先取，则00}{00][)]}({[KK②由式}{][}{FK101③取，算得1}{1][K④}{][}{FK112⑤多次迭代直止给定小数，则就是方程的解1nn}{}{n}{此图是此种迭代过程的应力变化，可以看出，弹性矩阵表示应力应变曲线上的割线斜率，所以此法称为割线刚度法或称直接迭代法})]({[D如果材料的应力应变关系能够表示为增量的形式，即}{d})]({[}{dTD并将平衡方程式改写为0}{d}{][})}({{FVBT上式的增量形式为VBTd}{d][}{d则有}{)]})][({[][(}{dddVBDBTT}{][dTKVBDBKTTTd]})][({[][][切线刚度矩阵切线弹性矩阵可以采用Newton-Raphson切线刚度迭代法，其迭代公式为nnnTK}{}{][111nnn][}{][}{}{][][FVBnTnd迭代步骤如下①已知，求得，切线弹性矩阵，n}{n}{)]}({[nTD)]}({[][nTnTKK②算出及，则n}{1n}{11nnn}{}{}{③重复①、②步骤，直到接近真实解，使给定小数1n}{计算时，可取进行首次迭代。下图是此种迭代过程的应力变化。可00}{看出，弹性矩阵表示应力、应变曲线上的切线斜率，所以此法亦称为切线刚度法。})]({[D（b）常刚度迭代法如果材料的本构关系可以写为将其用具有初应力的线弹性物理方程来代替})({}{f}{}]{[}{0D初应力列阵线性弹性矩阵，即时的切线弹性矩阵0}{若调整，使上列两式等价，则}{0}]{[})({}]{[}{}{DfD0el}{}{0假想弹性应力}]{[}{Del有平衡方程VBFVBDBTTdd0][][}{}){]][[][(VBFKTd00}{][}{}]{[VBDBKTd0]][[][][写成迭代公式nnFFK}{}{}]{[10VBFnelnTnd)}{}({][}{迭代步骤类似于切线刚度法，首次近似解通常取，切线性弹性问题的解。以上叙述的是常刚度迭代法中的初应力法，类似的还有适于求解蠕变问题的初应变法，可参阅文献[1]00}{F（3）增量求解方法（a）弹塑性本构关系的特点单轴应力下的材料典型弹塑性本构关系如图所示，其特点可归纳为：①应力在达到比例极限前，材料为线弹性；②应力在比例极限和弹性极限之间，材料为非线性弹性。③应力超过屈服点（），材料应变中出现不可恢复的塑性应变，应力和应变间为非线性关系spe)(f④应力在下卸载，则应力增量与应变增增量之间存在线性关系，即s0ddE⑤可用下列条件判断是加载还是卸载：当时为加载，且满足；当时为卸载，且满足0d)(f0dddE⑥在卸载后某应力下重新加载，则当时，0dEd卸载前材料曾经受到过的最大应力值，称后屈服应力⑦由卸载转入反向加载，应力应变关系继续依线性关系，一直到反向屈服。若，称此材料为理想塑性材料若，称此为硬化现象或加工硬化。s0s0理想塑性材料（b）增量形式的弹塑性矩阵通式在复杂应力状态下，判断材料是否屈服，可用应力的某种函数表示即此式的几何意义为0)(ijR以为坐标轴的空间超曲面。任一应力状态在此空间中代表一个点，当此点落在屈服面之内时，，材料呈弹性状态；时，材料开始进入塑性。各向同性材料的屈服条件与坐标轴的选取无关，屈服函数可以主应力函数形式表示为屈服准则表达形式较多，常用的有：ij0)(ijR0)(ijR0321),,(R①米赛斯（VonMises,1913）准则：应力偏量的第二不变量（）达到某一极限时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第四强度理论，即2J02KJ②特雷斯卡（Tresca,1864）准则：最大剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第三强度理论，即0212121max133221K,,③Drucker-Prager准则：021KJaI在一般情况下，对于弹塑性状态的物理方程，无法建立起最终应力状态和最终应变状态之量的全量关系，而只能建立反映加载路径的应力应变之间的增量关系，且可反映加载和卸载过程。研究弹塑性增量理论必须从本构矩阵开始。设屈服函数为0),(KRij应力状态硬化函数全应变增量可以分为两部分：弹性增量塑性增量)}{(ed)}{(pdpe}{}{}{ddd而应力增量与弹性应变增量之间是线性关系，即eeD}{][}{dd)}{}{(][peDdd弹性矩阵塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量，可以有不同的塑性变形增量。若采用相关联流动法则（普朗特——路斯流动法则[1]）。塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交，用数学公式表示为Rp}{d得RDe}{][}{dd1FDDee][}{][}{d对全微分得0),(KRij0dddd12211KKRRRR0dART}{KkRAd1用乘上式，并消去，可得eTDR][}{dRDRADReTeT][}{][d}{][][dRDRADReTeT}{][}{ddepDRDRADRRDDDeTeTeeep][][][][][此即为增量理论的弹塑性矩阵通式。文献[1]给出了三维空间问题、轴对称问题、平面应力问题和平面应变问题的显式（c）弹塑性问题的增量理论有限元法在弹塑性增量理论中，讨论仍限于小变形情况。于是，其应变—位移几何运动方程和平衡方程相同于线性问题，不需要作任何变动。需要改变的只是在塑性区范围内用塑性材料的本构关系矩阵代替原来的弹性系数矩阵。因此，可直接得到弹塑性分析有限元平衡方程epD][}{}]{[FuKttTtVBDBKvepTTtd]][[][][}{}{}{}{][ItctvtsttFFFFF分别表示与结构面荷载及体荷载对应的等效节点力增量；节点集中外荷载增量；初应力或初应变增量引起的外荷载增量。它们在至时间的增量为tttVfNFtTvvtd}{][}{dS][}{}{sNFtTvst对于初应力问题对于初应变问题VBFITvItd][}{}{VDBFIeTvItd][}]{[}{由小变形弹塑性分析的有限元方程知，代表了荷载与位移增量的切线刚度，随不同加载历程而变化。求解这一问题的关键是计算单元的切线刚度阵和应力。由于本构关系是当前应力的函数，即当前位移的隐函数，所以计算时要引入一个材料模型的子程序来处理塑性问题。这个子程序的主要计算内容与步骤如下：][TKepD][①由前边迭代结果的位移计算应变增量),(uuttttt②暂假定