复合函数的单调性

函数x=log2y,y是自变量，x是y的函数，定义域为(0,＋∞)，值域为R.函数y＝2x,x是自变量，y是x的函数，定义域为R，值域为(0,＋∞).探究：对数函数与指数函数之间的关系这时称函数x=log2y是函数y＝2x的反函数.在函数x=log2y中，y是自变量，x是函数.但是习惯上，通常用x表示自变量，y表示函数.为此,常常对调函数x=log2y中的字母x与y把它写成函数y=log2x.这样对数函数y=log2x与指数函数y＝2x互为反函数.推广对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数.定义域与值域对换复合函数的单调性一.函数单调性的定义：21,)(xxDIIxf上任意两个自变量内：的定义域为设函数)()(12121xfxfxx时，都有增函数：当)()(22121xfxfxx时，都有减函数：当xyO:(0)，0,，0,。ykxbkkk图象的函数解析式是此函数是一次函数，当时，此函数为增函数，函数的单调递增区间为当时，此函数为减函数，函数的单调递减区间为)0(kbkxy)0(kbkxy二.常用函数的单调性xyO0kxky)0(kxky上也是增函数。上是增函数，在时，函数在当上也是减函数；上是减函数，在时，函数在当。。此函数是反比例函数图象的函数解析式是：,00,0,00,00kkkxkyxyO)0(2acbxaxyabx2)0(2acbxaxy2(0)。0,,220,,22yaxbxcabbaaabbaaa图象的函数解析式是：此函数是二次函数。当时，函数在上是减函数，在上是增函数；当时，函数在上是增函数，在上是减函数。xyO)1(aayx)10(aayx上是减函数。时，函数在当上是增函数；时，函数在当。此函数是指数函数。且图象的解析式是：,10,1)00(aaaaayxxyO)1(logaxya)10(logaxya上是减函数。，时，函数在当上是增函数；，时，函数在当。此函数是对数函数。且图象的解析式是：01001)10(logaaaaxya小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。三.复合函数单调性是内函数。是外函数，而成的，其中复合和的函数，是由形如)(t)t()(t)t()]([xgfyxgfyxgfy)(xgu)t(fy)]([xgfy增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数xxxayyyxyxxy1,3,4.0,73,255112例：2430,xx解：2430,xx即13x1,3即函数的定义域为2143,,2uuxxy令则小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围内求函数的单调性。24313.2xxy例求函数的单调递减区间。在定义域内是减函数。uy212243211,22uxxx又在上是增函数，在，3上是减函数。24311,22xxy的单调递减区间为。13,1,3x即定义域为减增，在在)3,2[2,11)2(3422xxxu2：430xx解在定义域上是减函数。uy4.0log221()log43fxxx拓展：判断函数的单调性。22()log43afxxx拓展：判断函数的单调性。20.44.()log43fxxx例求的单调区间。uyxxu4.02log,34则令20.4()log432,3,1,2fxxx的单调递增区间为单调递减区间为。的单调区间：求函数例32421xxy的单调区间：求函数例1loglog22424xxy五.练习：的单调递减区间。求函数练习62)31(.1xxy的单调递区间。：求函数练习52342xxy的单调递区间。：求函数练习)(log322xxy八.小结：（1）求复合函数的单调区间；注意：求函数的单调性首先要求函数的定义域。（2）掌握复合函数单调性的判断方法。