复合函数的导数

复合函数的导数复合函数的导数：1.复合函数的概念:对于函数y=f[(x)],令u=(x),若y=f(u)是中间变量u的函数,u=(x)是自变量x的函数,则称y=f[(x)]是自变量x的复合函数.2.复合函数的导数:设函数在点x处有导数,函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数,则复合函数在点x处也有导数,且或记)(xu)(xux)(ufyu)]([xfy;xuxuyy).()()]([xufxfx法则可以推广到两个以上的中间变量.三、例题选讲：例1:求下列函数的导数:5)12()1(xy解:设y=u5,u=2x+1,则:.)12(102)12(525)12()(4445xxuxuuyyxuxux4)31(1)2(xy解:设y=u-4,u=1-3x,则:.)31(1212)3(4)31()(5554xuuxuuyyxuxux42)sin1()3(xy解:设y=u4,u=1+v2,v=sinx,则:.2sin)sin1(4cossin2)sin1(4cos24)(sin)1()(3232324xxxxxxvuxvuvuyyxvuxvux说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;解:.)116()12(4)12()12(42233333xxxxxxxxxxxy(3)y=tan3x;解:.secsin3cos1)cossin(3cos)sin(sincoscos)cossin(3)cossin(tan3)(tan)(tan342222322xxxxxxxxxxxxxxxxxy(2)51xxy解:.)1(51)1(1)1(51)1()1(51565425454xxxxxxxxxy(4)221)32(xxy;)1)(32(1)32(212222xxxxy解:.161)32(142)1(21)32()1(4232222122212xxxxxxxxxxxxxy(5):y=sin2(2x+π/3)法一:.)324sin(22)32cos()32sin(2xxxy法二:,)]324cos(1[21xy.)324sin(2]4)324sin(0[21xxy练习1:求下列函数的导数:32232)7643()4()3(211)2()1(xxyxxxyxycbxaxy答案:2223221)21(2)2()(3)2()1(xxxycbxaxcbxaxbaxy4227421925)76()43(135)4()295()(21)3(xxxxxxy例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R=10cm时,圆面积增加的速度.解:由已知知:圆半径R=R(t),且=2cm/s.tR又圆面积S=πR2,所以=40π(cm)2/s.2102|2|1010RtRtRRS故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.例4:在曲线上求一点,使通过该点的切线平行于x轴,并求此切线的方程.211xy解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:切线斜率.0,0)1(2|)11()(02200200xxxxxfkxx把x0=0代入曲线方程得:y0=1.所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交点处的切线互相垂直.证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一个交点处的切线互相垂直即可.联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨证明过P点的两条切线互相垂直.由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得,5,522xxyxy;23|31xyk同理由4x2+9y2=72得;94894,94822xxyxy.32|32xyk因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.例6:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)21x解:);(2)()()1(222xfxxxfy);1(1122)1()2(2222xfxxxxxfy)].(cos)(sin[2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin))(cos(cos))(sin(sin])(cos)(sin[)3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.有这样的一个结论:“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加以证明:证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x求导得:,故为奇函数.)()()())((xfxfxfxxf)(xf同理可证另一个命题.我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函数.证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).两边同时对x求导得:即也是以T为周期的周期函数.),())((xfTxTxf)(Txf)().(xfxf例7:求函数的导数.11311)(2xxxxxf解:1312)(xxxxf四、小结：利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.解：解：解：解：解：x的导数