稳态误差分析及PID调节作用

3-7稳态误差分析控制系统在输入信号作用下，其输出信号中将含有两个分量。其中一个分量是暂态分量。它反映控制系统的动态性能，是控制系统的重要特性之一。对于稳定的系统，暂态分量随着时间的增长而逐渐消失，最终将趋于零。另一个分量称为稳态分量。它反映控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和准确度，它是控制系统的另一个重要特性。对于稳定的系统来说，稳态性能的优劣一般是根据系统反应某些典型输入信号的稳态误差来评价的。因此，本节着重建立有关稳态误差的概念。一、误差和稳态误差设)(sCr是控制系统输出(被控量)的希望值，)(sC是控制系统的实际输出值。我们定义系统输出的希望值与输出的实际值之差为控制系统的误差，记作)(sE,即)()()(sCsCsEr（3-40）对于如图3－36(a)所示单位反馈系统，输出的希望值就是系统的输入信号。因此，系统的误差为)()()(sCsRsE（3-40a）可见，单位反馈系统的误差就是偏差)(s。但对于如图3－36(b)所示的非单位反馈系统，输出的希望值与输入信号之间存在一个给定的函数关系。这是因为，系统反馈传递函数)(sH，通常是系统输出量反馈到输入端的测量变换关系。因此，在一般情况下，系统输出的希望值与输入之间的关系为)()()(sHsRsCr，所以系统误差为)()()(1)(sCsRsHsE(3-40b)显然，在非单位反馈系统中，误差与偏差是有差别的。由图3-36(b)和式(3-40b)不难看出，它们之间存在如下简单关系)()(1)(ssHsE(3-40c)所谓稳态误差，是指系统在趋于稳态后的输出希望值)(rc和实际输出的稳态值)(c之差，即)()(ccerss下面举二个例子说明稳态误差究竟是如何产生的?它与哪些因素有关?1．随动系统如图1-7所示随动系统，要求输出角c以一定精度跟踪输入角r，显然这时输出的希望值就是系统的输入角度。故这个随动系统的偏差就是系统的误差。若系统在平衡状态下，cr，即0cre，0eu，电机不转。假定在0t时，输入轴突然转过某一角度r,如图3-37(a)所示。由于系统有“惯性”，输出不可能立即跟上输入r，于是出现误差，此时0cre，相应的0eu，电机就要开始转动，使输出轴跟随输入轴转动，直到rc,0e，0eu时为止。此时电机停止转动，系统进入新的平衡状态。可见，在这种情况下，系统将不产生稳态误差。如图3-37(a)所示。假定输入轴作等速转动(斜坡输入)，如图3-37(b)所示。显然，这时输出轴仍将跟随输入轴转动。而且，当瞬态过程结束，系统进入新的稳态后，输出轴的转速将等于输入轴的转速，即rc,但是rc，即0e，如图3-37（b）中所示。原因如下：要电机作等速转动，就一定要求其输入端有一定的电压u，因此放大器的输入电压eu也必不为零，所以e也就不为零。其次，假如输入速度增加(其余情况保持不变)，那么维持电机转动的电压亦应增加，因此相应的eu和e也增加（图3-37（c））。由此可知，稳态误差将随着输入轴转速的增加而加大。最后，如增大放大器的放大系数，那么同样大小的u值所需要的eu值就小，对应的e也就小了。因此，稳态误差随着放大系数的增大而减小。由此可见，对这样一个随动系统，系统的稳态误差和外作用的形式、大小有关，也与系统的结构参量（开环放大系数）有关。2．电压自动控制系统首先研究一个较简单的电压控制系统，其原理图如图3－38所示，要求控制发电机发出的电压保持某一恒值。系统的控制信号为ru，其大小等于被控制量u的希望值。通常它是一个恒值，故此系统是一个镇定系统。作用在系统上的干扰信号为负载的变化。电压控制系统的误差是)()()(tututure当系统稳态时，不论负载是否存在，输出电压u总不等于零。要使u不等于零，则发电机激磁电压ju也不能为零，因此eu总不为零。显然，系统处于稳态时(即负载不变)eu为常值，即此系统的稳态误差不为零。如何来减小或消除系统的稳态误差呢?一种方法是可以通过增加放大器的放大系数来减小稳态误差，但不能消除。另一种方法，可以改变系统结构来消除或减小稳态误差。如在图3-38系统中加入电机和电位器(给系统增添了积分环节)成为图1-2所示的电压控制系统。此系统在恒值负载的情况下稳态误差为零。先看一下系统在空载时消除稳态误差的物理过程。假定ruu,则0eu，eu经过放大器放大后加到电机上使电机转动，电机轴的转动就带动电位器电刷转动，从而改变了激磁电压。激磁电压应该向减小的方向变化，这样才能使发电机的电压u减小。总之，只要ruu，eu就存在，电机总要转动电刷改变ju，使u趋于ru，直到ruu时电机才停止转动，系统进入平衡状态，此时0eu，这就表明系统在空载时稳态误差等于零。系统带上恒值负载后情况如何呢?负载加入后使发电机的输出电压u下降，因此uur，0eu，eu的出现就会重复上述过程，使电动机转动电刷增加激磁电压，直至ruu时电机才停止转动，此时eu回到零。可见，系统不论负载如何改变，在稳态时系统的稳态误差总为零。综上所述，系统的稳态误差，不仅与外作用形式、大小有关，并且还与系统结构、结构参量有关。二、单位反馈系统稳态误差的计算误差本身是时间t的函数，在时间域中以)(te表示。因此，控制系统稳态误差实质上是误差信号的稳态分量，即当时间t趋于无穷时)(te的极限存在，则稳态误差为)(limteetss因此，可以利用终值定理求取系统的稳态误差，即0lim()lim()sstseetsEs(3-41)这样计算稳态误差比求解系统的误差响应e(t)要简单得多。终值定理使用条件是)(te的拉氏变换式)(sE在［s］平面的右半平面和虚轴上(坐标原点除外)必须解析，即)(sE的全部极点都必须分布在［s］平面的左半平面。由上可知，利用终值定理求稳态误差，实质问题归结为求误差)(te的拉氏变换式)(sE。图3-39为一个单位反馈系统。由于单位反馈系统的误差与偏差相同，因此，其误差)(sE直接可以从系统偏差传递函数)(se中得到，即)(11)()()()()(sGsRsEsRsse则有)()(11)(sRsGsE(3-42)1．利用终值定理可求得不同输入函数下的稳态误差(1)阶跃输入0)(Rtr·)(1t时(0R表示阶跃量大小的常值)，则sRsR0)(，由式(3-41)和(3-42)，得000001lim()lim1()1lim()sssssRResEssGssGs(3-43a)(2)斜坡输入tVtr0)(·)(1t时(0V表示输入信号的速度)，则20)(sVsR，由式(3-41)和(3-42)，得000lim()lim()ssssVesEsGs(3-43b)(3)等加速输入20)(tatr·2)(1t(其中0a为加速度)，则30)(sasR由式(3-41)和(3-42)，得020lim()sssaesGs(343c)由式(3-43a～c)可见，稳态误差与输入函数大小成正比。同时与系统开环传递函数)(sG有关。我们定义)(lim0sGKsp(3-44a))(lim0ssGKsv(3-44b))(lim20sGsKsa(3-44c)pK、vK和aK分别称为位置、速度和加速度静态误差系数，统称为静态误差系数。用这些静态误差系数表示稳态误差，则有pssKRe10(3-45a)vssKVe0(3-45b)assKae0(3-45c)因此，把相对应的稳态误差也分别称为位置、速度和加速度误差。但要注意：速度误差(或加速度误差)这个术语，是表示系统在斜坡输入(或加速度输入)作用时的稳态误差。当我们说，某系统速度(或加速度)误差sse为常值时，并不是指系统在到达稳态后，其输入与输出在速度(或加速度)上有一个固定的差值，而是说系统在斜坡(或加速度)输入作用下，到达稳态后，在位置上有一个固定的差值(误差)。图3-40中，清楚地显示了这一点。由式(3-45a～c)可知，pK、vK和aK的大小，分别反映了系统在阶跃、斜坡和加速度输入作用下系统的稳态精度及跟踪典型输入信号的能力。静态误差系数越大，稳态误差越小，跟踪精度越高。总之，静态误差系数pK、vK和aK均是从系统本身的结构特征上体现了系统消除稳态误差的能力，它反映了系统跟踪典型输入信号的精度。根据静态误差系数的定义可知，它们与系统开环传递函数)(sG有关，因此稳态误差还与系统结构形式及参数有关。将)(sG写成典型环节形式，即(2-52)式)12()1()12()1()(21222122221sTsTsTsssKsGv对上式①取vsssKsG00lim)(lim对照式(3-44a～c)，清楚地表明，静态误差系数只与开环传递函数中的积分环节、放大系数有关，而与时间常数无关，为了能更方便地说明问题，根据系统开环传递函数中所包含积分环节的数目将控制系统分成不同类型：当0v时，开环传递函数中无积分环节，称为零型系统。当1v时，开环传递函数中有一个积分环节，称为一型系统。当,3,2v时，开环传递函数中有二、三、…个积分环节，称为二型、三型、…等系统。2．系统的类型和误差系数(1)零型系统(0v)KsKsGKvssp00lim)(lim0lim0vsvsKsK0lim20vsasKsK则有KRKRepss1100；vssKVe0；assKae0可见零型系统，只有位置误差是有限值，速度和加速度误差均为无穷大。因此，在阶跃输入下，若系统允许存在一定的稳态误差时，可以采用零型系统。如果对阶跃输入，希望稳态误差为零，则零型系统无法满足要求。(2)一型系统(1v)则有sKKsp0limKsKsKsv0lim0lim20sKsKsa则有①在上式所有典型环节中均不出现负项，由该特征的传递函数构成的系统，称为最小相位系统。有关这方面的内容参见第五章010pssKRe；KVKVevss00；assKae0显然，一型系统对阶跃输入是不存在稳态误差，而对斜坡输入有一定的常值稳态误差，对加速度输入以及更高阶次的输入稳态误差为无穷大。其曲线如图3-41所示。(3)二型系统(2v)则有20limsKKsp20limsKsKsvKsKsKsa220lim因此010pssKRe；00vssKVe；KaKaeass00显然，二型系统对阶跃和斜坡输入的稳态误差都为零，而对加速度输入有稳态误差。aK的大小反映系统跟踪等加速度输入信号的能力。aK越大，稳态误差越小，精度越高。在表3-3中，列出了最小相位系统的类型、静态误差系数及稳态误差与输入信号之间的关系。由表可见：(1)在对角线上(如表中虚线所示)，静态误差系数均为系统开环增益K；对角线以上的静态误差系数为零；对角线以下为无穷大。对应的稳态误差sse栏对角线上均为有限常值，且与系统开环增益成反比，与系统输入量大小成正比。而在稳态误差栏对角线以上sse为无穷大；在对角线以下为零。这充分说明了，静态误差系数越大，稳态误差越小，系统跟踪输入信号的能力越强，跟踪精度越高。所以误差系数pK、vK和aK均是系统本身从结构特征上体现了消除稳态误差的能力。(2)0v，即零型系统，对三种典型输入均有差，故又称作有差系统。一型系统(1v)，对阶跃输入信号为无差，而对斜坡和加速度输入为有差，故称一阶无差系统。二型系统(2v)，对阶跃和斜坡输入均为无差，而对加速度输入为有差，故称二阶无差系统。可见，系统类型越高，系统稳态无差度越高。因此，从稳态准确度的要求上讲，积分环节似乎越多越好，但这要受系统稳定性的限制。因而实际系统一般不超过二个积分环节。为什么在开环系统中串入积分环节能使有差系统变成无差系统呢?这要从积分环节的输入输出特性上得到解释。理想积分环节的输出等于输入对时间的积分