七年级下册不等式及其基本性质讲义

使命·责任·分享·学习中国教育培训领军品牌美国纳斯达克上市机构第1页共10页环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题课型□预习课□同步课□复习课□习题课授课日期及时段教学内容【基础知识网络总结与新课讲解】知识点一、不等式的有关概念：1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。注意：常见的不等号有五种：“≠”、“”、“”、“≥”、“≤”．例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。提示：注意一个数的和，差，倍，分的表示法以及大于，不小于，不大于应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以是正数可表示为＞0，是负数可表示为＜0，非负数可表示为≥0。参考答案：使命·责任·分享·学习中国教育培训领军品牌美国纳斯达克上市机构第2页共10页（1）a＞0(2)y-2≥0(3)a+6＞7(4)≥3(5)8+3x≤1注意：列不等式时应注意两点：①是正数表示为＞0，是负数表示为＜0；非正数表示为≥0。②不大于用≤表示，不小于用≥表示。2．不等式的基本性质（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。用式子表示：如果ab，那a+cb+c（或a–cb–c）（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示：如果ab，且c0，那么acbc，cbca。（3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果ab，且c0，那么acbc，cbca。（4）对称性：如果ab，那么ba。（5）同向传递性：ab，bc那么ac。注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a－b＞0，则a大于b；②若a－b＜0，则a小于b；③若a－b≥0，则a不小于b；④若a－b≤0，则a不大于b；⑤若ab＞0或0ab，则a、b同号；⑥若ab＜0或0ab，则a、b异号。任意两个实数a、b的大小关系：①a-bOab；②a-b=Oa=b；③a-bOab．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。使命·责任·分享·学习中国教育培训领军品牌美国纳斯达克上市机构第3页共10页例3.对于不等式x+2＜6，字母x表示未知数，当x取某一个数值a（例如3）时，x+2的值小于6，我们就说当x=a时，不等式x+2＜6成立，当x取某一个数值b（例如5）时，x+2的值不小于6，我们就说当x=b时，不等式x+2＜6不成立，说明当x取下列数值时，不等式2x+1＜5是否成立？-1，0，3，-2.5，+4，-4，4.5提示：把下列各值分别代入不等式的左边计算2x+1的值，若小于5则不等式成立；若不小于5则不等式不成立。参考答案：当x=-1,0,-2.5,-4时，不等式2x+1＜5成立。说明：因为当x=1，0，-2.5,-4时，不等式2x+1＜5成立，当x=2,+4,4.5时，不等式2x+1＜5不成立，所以同方程类似，我们可以说-1，0，-2.5-4是不等式2x+1＜5的解，而2，+4，4.5不是不等式2x+1＜5的解。例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。（1）由2a＞5，得a＞（2）由a-7＞，得a＞7（3）由-a＞0，得a＜0（4）由3a＞2a-1,得a＞-1。例5.设a＞b；用＞或＜号填空：（1）（2）a-5b-5（3）-a-b（4）6a6b（5）-（6）-a-b参考答案：（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＜（6）＜例5.试比较下列两个代数式值的大小：（1）5a+2与4a+2（2）x3+3x2-7与x3+2x2-7提示：我们知道，若a-b＞0,则a＞b；若a-b=0,则a=b；若a-b＜0,则a＜b,所以要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。参考答案：（1）(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a∵a可取正数，负数或零，∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能：①当a＞0时，5a+2＞4a+2②当a=0时，5a+2=4a+2使命·责任·分享·学习中国教育培训领军品牌美国纳斯达克上市机构第4页共10页③当a＜0时，5a+2＜4a+2。（2）（x3+3x2-7）-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2∵x2≥0(对任意x)∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7例6.已知二数a＞2,b＞2,试比较a+b与ab的大小。提示：此题可用作商比较法来比较a+b与ab的大小。参考答案：a+b＜ab。说明：∵a＞b,b＞2∴ab＞0且∵又ab＞0∴a+b＜ab。课内练习：1．（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。①6+2-3+2；②6×（-2）-3×（-2）；③6÷2-3÷2；④6÷（-2）-3÷（-2）（2）如果a＞b，则2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：（1）若a＞b，则2a+12b+1;（2）若＜10，则y-8；（3）若a＜b，且c＞0，则ac+cbc+c；（4）若a＞0，b＜0，c＜0，（a-b）c0。3.按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。（1）a＞b两边都加上-4；（2）-3a＜b两边都除以-3；（3）a≥3b两边都乘以2；（4）a≤2b两边都加上c；4.根据不等式的性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）：5.比较下列各题两式的大小：使命·责任·分享·学习中国教育培训领军品牌美国纳斯达克上市机构第5页共10页6．【探索与创新】（1）用适当的符号填空①∣3∣＋∣4∣∣3＋4∣；②∣3∣＋∣－4∣3＋（－4）∣；③∣－3∣＋∣4∣∣－3＋4∣；④∣－3∣＋∣－4∣∣－3＋（－4）∣；⑤∣0∣＋∣4∣∣0＋4∣；（2）观察后你能比较∣a∣＋∣b∣和∣a＋b∣的大小吗？课后习题：1．当x取何值时，不等式3x＜5x+1成立（）A.-B.-1C.0D.-3.52．下列不等式的变形中，正确的是（）A.若2x＜-3，则x＜-,B.若-x＜0，则x＞0C.若-，则x＞y。D.若-，则x＜-63．若关于x的不等式ax＞b（a≠0），有x＜,那么a一定是（）A.正数B.负数C.非正数D.任何数4．若a＞b且a≠0,b≠0，则（）A.B.C.a＞b＞0时，b＜a＜0时，，D.ab同号时，,a、b异号时，5．已知a＞b，用“＞”或“＜”号填空．（1）a－2b－2；（2）3a3b；（3）41a41b；（4）－32a－32b；（5）－10a－10b;（6）ac2bc2．6．若x＞y，则ax＞ay，那么a一定为（）．（A）a≥0（B）a≤0（C）a＞0（D）a＜07．若m＜n，则下列各式中正确的是（）．使命·责任·分享·学习中国教育培训领军品牌美国纳斯达克上市机构第6页共10页（A）m－3＞n－3（B）3m＞3n（C）－3m＞－3n（D）13m＞13n8．下列各题中，结论正确的是（）．（A）若a＞0，b＜0，则ab＞0（B）若a＞b，则a－b＞0（C）若a＜0，b＜0，则ab＜0（D）若a＞b，a＜0，则ab＜09．下列变形不正确的是（）．（A）若a＞b，则b＜a（B）若－a＞－b，则b＞a（C）由－2x＞a，得x＞a21（D）由21x＞－y，得x＞－2y10．下列不等式一定能成立的是（）．（A）a＋c＞a－c（B）a2＋c＞c（C）a＞－a（D）10a＜a11、在下列空格中填上不等号，并注明理由：（1）若5+x＞8,则x3,根据是。（2）若6x＞3，则x,根据是。（3）若＞1，则x-3，根据是。（4）若x＞y，则--,根据是。12、如果a＜b，用＜或＞填空。（1）a-1b-1(2)-2a-2b(3)（4）1-a1-b13、若-，则c0（填＞或＜号)14、列出表示下列各数量关系的不等式：（1）m的2倍与3的和大于7；（2）x的与4的差是负数；（3）a的一半与b的3倍的和不大于1；（4）y的立方是非负数。15．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－17＜－5；（2）x21＞－3；使命·责任·分享·学习中国教育培训领军品牌美国纳斯达克上市机构第7页共10页（3）x327＞11；（4）351x＞354x．16．a一定大于－a吗？为什么？17．已知将不等式mx＞m的两边都除以m，得x＜1，则m应满足什么条件？18.设a＞b，用“＞”或“＜”号填空：(1)a+3______b+3；(2)5a______5b；(5)ma______mb(m≠0)．30分钟检测一、选择题（每题4分，共32分）1、如果m＜n＜0,那么下列结论中错误的是（）A、m－9＜n－9B、－m＞－nC、11nmD、1mn2、若a－b＜0，则下列各式中一定正确的是（）A、a＞bB、ab＞0C、0abD、－a＞－b3、由不等式ax＞b可以推出x＜ba，那么a的取值范围是（）A、a≤0B、a＜0C、a≥0D、a＞04、如果t＞0,那么a＋t与a的大小关系是（）A、a＋t＞aB、a＋t＜aC、a＋t≥aD、不能确定5、如果34aa，则a必须满足（）A、a≠0B、a＜0C、a＞0D、a为任意数6、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（）a0bcA、cb＞abB、ac＞abC、cb＜abD、c＋b＞a＋b7、有下列说法：（1）若a＜b，则－a＞－b；（2）若xy＜0，则x＜0，y＜0；[来源:学科网]使命·责任·分享·学习中国教育培训领军品牌美国纳斯达克上市机构第8页共10页（3）若x＜0，y＜0，则xy＜0；（4）若a＜b，则2a＜a＋b；（5）若a＜b，则11ab；（6）若1122xy，则x＞y。其中正确的说法有（）A、2个B、3个C、4个D、5个8、2a与3a的大小关系（）A、2a＜3aB、2a＞3aC、2a＝3aD、不能确定二、填空题（每题4分，共32分）9、若m＜n，比较下列各式的大小：（1）m－3______n－3（2）－5m______－5n（3）3m______3n[来源:Zxxk.Com]（4）3－m______2－n(5)0_____m－n（6）324m_____324n10、用“＞”或“＜”填空：（1）如果x－2＜3，那么x______5；（2）如果23x＜－1，那么x______23；（3）如果15x＞－2，那么x______－10；（4）如果－x＞1，那么x______－1；（5）若axb，20ac，则x______ba.11、x＜y得到ax＞ay的条件应是____________。12、若x＋y＞x－y，y－x＞y，那么（1）x＋y＞0，（2）y－x＜0，（3）xy≤0,[来源:学&科&网Z&X&X&K]（4）yx＜0中，正确结论的序号为________。13、满足－2x＞－12的非负整数有________________________。14、若ax＞b，ac2＜0，则x________ab.15、如果x－7＜－5，则x；如果－2x＞0，那么x；16、当x时，代数式2x－3的值是正数.三、解答题（每题9分，共36分）17、说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：（1）由12x＞－3，得x＞－6；___________________________;（2）由3＋x≤5，得x≤2；_____________________