久期和凸性

现代投资组合理论与投资分析——久期与凸性（DurationandConvexity)根据债券定价模型，人们开发出了有关债券价格相对利率变化的灵敏度及其它很有用的指标，如久期（Duration）和凸性（Convexity）。引言前面我们注意到，所有债券（证券）都承担利率风险，并且长期债券比短期债券对这些风险更为敏感。前面的图和表均说明了这个问题。但是，这种说明和表达方式是不精确的。首先，期限的度量，忽视了债券中间时期的现金流，仅仅是关注到期时的最后支付，利息支付（中间的现金流）对于利率风险是重要的，而且众所周知，票息高的债券比那些票息低的债券对利率的敏感性要低。实质上，通过更快的现金流回报，持有高息票债券的投资者比持有低息票债券的投资者可更快收回投资。上面的表2就是一个例证在上面的例子中，尽管三支债券的期限均相同，但三支债券表现出对利率变化不同的灵敏性。按这里的期限，对三支债券对利率变化的相对灵敏性的影响是有限的。久期这个指标可以评价具有不同现金流方式的债券的相对承担利率风险的成份，因为它既考虑到了期末的现金支付又考虑到了期间的现金支付情况（它使债券定价定理5得以精确化）。二、债券的平均生命期和久期债券价值时间现金流1现金流2现金流3平均生命期01231、债券平均寿命期图示：期限3年，每年内现金流相同。2、债券久期图示：相同的例子现金流1现金流2现金流3久期债券价值时间0123上图中，债券的生命期为2年。然而，一个更为精确的现金流生命的度量，应考虑到现金流的现值。在这种情况下，目标是用支付的现金流的现值给每次支付加权，而不是简单地用未加处理的支付额来计算平均时间。这种用每次支付的现值为每次支付时间加权的度量被命名为久期d，如上图。由于较早的支付比较晚的支付现值高，因此久期的期限将小与平均生命期。见上图。债券久期的计算公式为：PkFCtkCkCkCdtn/)1()(...)1(3)1(2)1(133221上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加权。现金流入包括利息C和赎回本金F，并且时间加权数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再除以债券价格P（债券估值公式中的P）。3、久期例子计算表（1）公式：（2）债券A（折价债券）：PkCkCkCd/)1(3)1(2)1(133221年＝）］／（）＋（）＋（＝［310001000302011000/)331.1(13313)21.1(02)10.1(01d（3）债券B（抵押债券）：（4）债券C（息票债券）：年＝）］／（）＋（）＋（＝［1.9)(1929/100010003013331236411000/)331.1(4003)21.1(0402)10.1(0401d年＝）］／（）＋（）＋（＝［2.7)(2733/1000100082738129011000/)331.1(11003)21.1(0102)10.1(0101d注意：零息票折价债券的期限与久期相同，这是因为全部的现金流均在持有期末收到。另一方面，期间发生支付的债券其久期短于期限。因此息票债券C的久期为2.7年，小于期限3年。债券B由于其平均现金流而拥有更短的久期，为1.9年。第三节久期和利率灵敏度问题的引出作为一种度量投资者投资回收期的方法，久期同期限相比，其最明显的优势是度量债券价格相对于到期收益率变化的灵敏度上：久期使债券定价定理2得以精确。通常认为，两支不同期限的债券，其到期收益率变化1％，所带来的债券价格变化，期限较长的变化大于期限较短的变化。然而，如果债券的息票不同，上述结论则不正确。在一般情况下，期限与价格灵敏度之间不存在一种简单的关系，而久期却给出了一个更为接近的方程。＋到期收益率到期收益率变化久期价格变化百分比＝1根据上表中的息票债券C，假定到期收益率从10％增长到11％。据此可得期望的价格变化：注意：这个结果与前面表2中计算出的实际价格下降2.6%相比较，其误差来自于这样一个事实：久期得出的度量在利率变化幅度较小时很有效，但一旦利率变化较大时，就会失去其精确性。我们认为，利率在短期内变化100个基点是比较大幅度的变化，因而存在一定的误差。%5.2)10.101.0(7.2)1(kkdPP二、久期、息票率和到期收益率下表给出了三种不同的到期收益率和四种不同息票率条件下，五种不同到期期限的债券的久期变化。到期期限息票率6％8％10％12％15101520要求的收益率＝12％（到期收益率）0.934.056.617.968.530.923.916.237.468.050.923.785.957.137.740.923.685.736.887.52要求的收益率＝14％（到期收益率）151015200.923.986.337.377.650.923.835.956.917.240.913.715.686.596.980.913.605.466.376.80要求的收益率＝16％（到期收益率）151015200.913.916.056.806.860.913.765.686.386.510.903.635.416.096.300.903.535.205.896.15表5-5列出了在三种不同的票息率12%、14%和16%条件下不同期限债券的久期。注意：期限较长的债券通常比期限较短的债券拥有更大的久期。例如14%利率水平下，一只20年的债券票息为10%，其久期为6.98，同样条件下10年债券久期为5.68，5年债券久期为3.7。同时要注意，高利率水平下的久期低于低利率水平下的久期。例如：20年的债券在14%利率水平下，久期为6.98，而在12%利率水平下，久期为7.74，在16%利率水平下久期为6.30。通过对久期的分析，与本章前面讨论到的证券的风险因素相联系起来，以对本节做出总结，这将是有指导意义的。我们注意到，在一个定价体制中，具有较大利率风险的证券比具有较低利率风险的证券应有较高的增溢或折现率。本节的分析已经指出期限长的证券比期限短的证券对于利率变化的灵敏性要高。我们因此希望较长期限的证券比较短期限的证券有着较大的折现率以补偿其较大的风险（在其他风险因素相等条件下）第四节凸性分析（ConvexityAnalysis）如上节分析所指出，利率和债券价格可以通过久期以一种线性关系联系起来。这种关系给出了一个债券价格变化精确的近似值，特别是在利率变化很小的情况下。然而，当利率变化较大时，这种关系将失去其精确性。因为此时两者的实际关系是一种曲线关系。由债券定价定理4可知，债券价格随利率下降而上升的数额要大于债券价格随利率上升同样幅度而下降的数额。由此可以说明这种关系的曲线性。这种价格反应的不对称性就是著名的凸性理论：债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条凸函数而不是一条直线函数。下图对一个10年期零息票到期收益率为10％的债券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格变化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系的影响。债券价值（美元）凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）65060055050045040035030050846342238632229578910111213利率%图5利率变化对债券价值影响关系图示如前所述，零息票债券的久期与其期限相同。因此图中债券的久期与期限一样也是10年，而且其变化关系是一条直线，这条直线是当前到期收益率为10％时价格变化曲线的切线。注意：在利率高于或低于10％时，以久期为基础的估计与由利率导出的债券价格之间存在一定差异，利率偏离10％越远差异越大。这是因为当利率不是10％时，估计的直线将在债券价格变化的曲线之下。二、凸性调整为了调整因凸性现象而产生的对债券价格变化预期的误差，我们可以增加一个凸性项来表示基础的久期利率灵敏度公式。下式就是除久期外，将凸性因素考虑在内了。2)1()1(kkcvkkdPP注意：这个等式是一个二次方程，它能使我们更充分地表现债券价格与利率之间的关系。公式中的第一项与久期有关，其表现了直线的斜率，并给出了利率变化的一阶影响。余项与凸性有关，是一个二次项，表现了线的曲度并反应了利率变化的二阶影响。从数学上讲，久期项是债券价格――利率关系对利率变化的一阶导数，而凸性项是对利率变化的二阶导数。久期的公式前面已有定义，凸性的定义公式如下：01)1()1()21(PkCttcvTttt同久期的计算相似，导出凸性价值其实是用时间因素t(t+1)给现金流（息票和面值）加权，即上面公式中的分子，这个值再除以债券当前价格或现值。整个表达式再乘以1/2加以标准化。举例：一支利率为10％的零息票债券。假设利率由10％现在下降到9％，即100个基点。随着利率下降，债券价格由到期收益率10％时的386美元上升到了到期收益率为9％时的422美元，价格上升了9.33%。首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响。这里的价格变化为9.09%，小于所导出的9.33%的变化幅度。这个未预料出的9.33%-9.09%=0.24%的变化就表现了凸性的影响。即：％或9.090909.0)10.101.0)(10()%101%10%9)(10()1(kkdPP55386)10.1()1000)(11(10)21()1()1()21(1001PkCttcvTtTT把凸性估计和利率变化结合起来，我们得到一个与凸性有关的债券价格变化估计量：将凸性调整与上面讨论过的公式中以久期为基础的估计联在一起，我们得到一个债券价格变化的总的估计：0045.0)10.101.0(55)1(22kkcv9.54%0.09540.00450.0909)1()1(2或＝价格变化＝kkcvkkdPP三、凸性的决定因素：票息和期限一个例子：假设一个债券的到期收益率为10％。下表给出了随着债券期限变化和息票变化对凸性的影响。凸性的决定因素：票息和期限期限票息票息010％5年10年20年15552107.3%12.3%31.2%从表中看出：（1）长生命期的债券（如前面的永续年金图形）与息票利率变化之间的关系具有明显的凸性性质；（2）短期债券（如前面的3年期债券）的价格－利率关系几乎是一条直线，只有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（3）凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而降低。（4）低利率水平下的凸性大于高利率水平下的凸性。（5）债券价格与利率关系在曲线的低利率部分更加弯曲。四、凸性分析的应用在定位一个有关期限的投资组合时，债券经理们习惯上采用三种方法：（1）期限集中法；（2）梯形法；（3）杠铃法。当经理们对利率有确定的看法时，使用期限集中投资组合。期限集中投资组合，即子弹型组合。就是集中投资中等期限的债券，由于中间突出，所以叫子弹型。什么是梯形投资法？梯形投资法是什么意思？梯形投资法，又称等期投资法，就是每隔一段时间，在国债发行市场认购一批相同期限的债券，每一段时间都如此,接连不断，这样，投资者在以后的每段时间都可以稳定地获得一笔本息收入。梯形投资法就是将全部投资资金平均投放在各种期限的证券上的一种组合方式。具体的做法是买入市场上各种期限的证券，每种期限购买数量相等，当期限最短的证券到期后，用所兑现的资金再购买新发的证券，这样循环往复，投资者始终持有各种到期日证券，并且各种到期日的数量都是相等的。这种情况反映在图形上，形似间距相等的阶梯，故称“梯形投资法”。这种方法的特点是计算简单，收益稳定，便于管理，但不便于根据市场利率变动转换证券。杠铃投资法是将证券投资资金集中投放在短期证券与长期证券两类证券上，并随市场利率变动不断调整资金在两者之间的分配，以保持证券头寸的一种投资组合方法。大家应该都看见过杠铃，闭上眼设想一下杠铃的模样，是不是两头大、中间细。在债券投资中也有一种叫杠铃型投资的方法，这种投资模型是集