立体几何(几何法)—线面角

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立体几何(几何法)—线面角例1(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,22AC,2PA,E是PC上的一点,2PEEC。(Ⅰ)证明:PC平面BED;(Ⅱ)设二面角APBC为90,求PD与平面PBC所成角的大小。【答案】解:方法一:(1)证明:因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC,又PA⊥底面ABCD,所以PC⊥BD.设AC∩BD=F,连结EF.因为AC=22,PA=2,PE=2EC,故PC=23,EC=233,FC=2,从而PCFC=6,ACEC=6.因为PCFC=ACEC,∠FCE=∠PCA,所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°,由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB,G为垂足.因为二面角A-PB-C为90°,所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC=PB,故AG⊥平面PBC,AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故BC⊥平面PAB,于是BC⊥AB,所以底面ABCD为正方形,AD=2,PD=PA2+AD2=22.ECBDAP设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC,且AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,故AD∥平面PBC,AD两点到平面PBC的距离相等,即d=AG=2.设PD与平面PBC所成的角为α,则sinα=dPD=12.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二:(1)以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设C(22,0,0),D(2,b,0),其中b0,则P(0,0,2),E423,0,23,B(2,-b,0).于是PC→=(22,0,-2),BE→=23,b,23,DE→=23,-b,23,从而PC→·BE→=0,PC→·DE→=0,故PC⊥BE,PC⊥DE.又BE∩DE=E,所以PC⊥平面BDE.(2)AP→=(0,0,2),AB→=(2,-b,0).设=(x,y,z)为平面PAB的法向量,则·AP→=0,·AB→=0,即2z=0且2x-by=0,令x=b,则=(b,2,0).设=(p,q,r)为平面PBC的法向量,则·PC→=0,·BE→=0,即22p-2r=0且2p3+bq+23r=0,令p=1,则r=2,q=-2b,=1,-2b,2.因为面PAB⊥面PBC,故·=0,即b-2b=0,故b=2,于是=(1,-1,2),DP→=(-2,-2,2),cos〈,DP→〉=n·DP→|n||DP→|=12,〈,DP→〉=60°.因为PD与平面PBC所成的角和〈,DP→〉互余,故PD与平面PBC所成的角为30°.例2(2012高考天津文科17)(本小题满分13分)如图1-4,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=23,PD=CD=2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明平面PDC⊥平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.图1-4【答案】解:(1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,又因为AD⊥PD,故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角.在Rt△PDA中,tan∠PAD=PDAD=2.所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=23,可得∠PCD=30°.在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=3.由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC.在Rt△PCB中,PB=PC2+BC2=13.在Rt△PEB中,sin∠PBE=PEPB=3913.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913.例3(2012高考浙江文20)(本题满分15分)如图1-5,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=2,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:(i)EF∥A1D1;(ii)BA1⊥平面B1C1EF;(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.图1-5【答案】解:(1)证明:(ⅰ)因为C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面A1D1DA,所以C1B1∥平面A1D1DA,又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF,所以C1B1∥EF,所以A1D1∥EF.(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B=22,即∠A1B1F=∠AA1B,故BA1⊥B1F,所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H,连结C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B中,AB=2,AA1=2,得BH=46.在直角△BHC1中,BC1=25,BH=46,得sin∠BC1H=BHBC1=3015,所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是3015.

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