立体几何大题—利用等体积解题

1高考文科立体几何大题中有关体积的求法（学生版）1、求空间距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2、求点到平面的距离通常有四种方法新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(3)体积法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(4)向量法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例题分析：例1、如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆求新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆QPDCBA2例2、如图，在棱长为2的正方体1AC中，G是1AA的中点，求BD到平面11DGB的距离.BACDOGH1A1C1D1B1O3ED1C1B1A1DCBA例3、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1—EAC的体积新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆4高考文科立体几何大题中有关体积的求法（教师版）例1、如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆求新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解析：新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足连结QE，∵QA⊥平面ABCD，由三垂线定理得QE⊥BE∴QE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,∴AE=22baab在Rt△QAE中，QA=21PA=c∴QE=22222babac∴Q到BD距离为22222babac新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆HEQPDCBA5(2)解法一新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆∵平面BQD经过线段PA的中点，∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE∴BD⊥AH∴AH⊥平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆在Rt△AQE中，∵AQ=c,AE=22baab∴AH=22222)(bacbaabc∴P到平面BD的距离为22222)(bacbaabc解法二新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆设点A到平面QBD的距离为h，由VA—BQD=VQ—ABD,得31S△BQD·h=31S△ABD·AQh=22222)(bacbaabcSAQSBQDABD新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆6例2．如图，在棱长为2的正方体1AC中，G是1AA的中点，求BD到平面11DGB的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解析一：BD∥平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点O平面11DGB的距离,1111CADB，AADB111，11DB平面11ACCA,又11DB平面11DGB平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1,作GOOH1于H，则有OH平面11DGB，即OH是O点到平面11DGB的距离.在OGO1中，222212111AOOOSOGO.又362,23212111OHOHGOOHSOGO.即BD到平面11DGB的距离等于362.解析二：BD∥平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点B平面11DGB的距离.设点B到平面11DGB的距离为h，将它视为三棱锥11DGBB的高，则BACDOGH1A1C1D1B1O7，由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV34222213111GBBDV,,36264h即BD到平面11DGB的距离等于362.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.例3、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1—EAC的体积新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆析：(1)连结DB交AC于O，连结EO，∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD∴EO⊥AC，即∠EOD=45°又DO=22a，AC=2a，EO=45cosDO=a，∴S△EAC=22aED1C1B1A1DCBA8(2)∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AC，又A1A⊥A1B1∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EO∥BD1，O为BD中点，∴D1B=2EO=2a∴D1D=2a，∴A1B1与AC距离为2a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D⊥面EAC∴B1Q是三棱锥B1—EAC的高，得B1Q=23a32422322311aaaVEACB92016年高考理科空间向量与立体几何综合例题一、选择题1、若a、b、c为任意向量，m∈R，下列等式不一定成立的是（）A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·cC.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)c=a(b·c)解析:D2、已知ABCD是四面体，O为△BCD内一点，则=(++)是O为△BCD的重心的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:C3、若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),a、b夹角的余弦值为，则λ等于（）A.2B.-2C.-2或D.2或-解析:C4、在以下命题中，不正确的个数为（）①|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λ·b10③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若=2-2-，则P、A、B、C四点共面④若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底⑤|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|A.2B.3C.4D.5解析:B5、设a=(x,4,3),b=(3,2,z),且a∥b,则xz等于（）A.-4B.9C.-9D.解析:B6、在正三棱柱ABC—A