矩阵的秩的性质

矩阵的秩的性质和矩阵秩与矩阵运算之间的关系要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。”那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质：1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。2、秩为r的n级矩阵（nr），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r阶子式不为0.3、)}(),(min{)(BrankArankABrank)'()(ArankArank，)()()(BrankArankBArank)()(ArankkArank4、设A是ns矩阵，B为sn矩阵，则)(Arank)}(),(min{)()(BrankArankABranknBrank5、设A是ns矩阵，P,Q分别是s,n阶可逆矩阵，则)()()(ArankAQrankPArank6、设A是ns矩阵，B为sn矩阵，且AB=0，则nBrankArank)()(7、设A是ns矩阵，则)()'()'(ArankAArankAArank其中，也涉及到线性方程组解得问题：8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A，nArank)(则方程组有惟一非零解，nArank)(则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则，非齐次线性方程组有解时，nArank)(惟一解，nArank)(有无穷多解。还有满秩矩阵：9、可逆满秩10、行（列）向量组线性无关，即n级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n。扩展到矩阵的分块后：11、110(A)(A)0nnArankrankrankA12、()()0ACrankrankArankBB证明：1、先证明初等变换不会改变秩，就先从行秩开始。设矩阵A的行向量组是12s，，设A经过1初等变换j+i*k变成矩阵B，则B的行向量组是1,,,,,,iijsk，显然，1,,,,,,iijsk可由12s，线性表出，由于1()jijikk，因此12s，也可由1,,,,,,iijsk线性表出，于是它们等价，而等价向量组有相同的秩，因此A的行秩等于B的列秩。容易证明，2型和3型初等变换亦使所得矩阵的行向量组与原矩阵等价，从而不改变矩阵的行秩。进而列秩也可以得到证明，又已知阶梯形矩阵的行秩与列秩相同，那么，讲一个矩阵通过初等变换得到阶梯形矩阵，行秩等于列秩的性质便得证。2、设sn矩阵A的秩为r，则A的行向量组中有r个线性无关的向量，设A的第1,,rii行向量线性无关，它们组成一个矩阵A1（称A1是A的子矩阵），由于A1的行向量组线性无关，因此A1的行秩为r，列秩也为r。于是A1又r列线性无关。设A1的第1,,rjj列线性无关，它们组成A1的一个子矩阵A2的列向量组线性无关，因此2||0A。即