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标高投影教学目的与要求：(1)标高投影的基本概念(2)标高投影中曲面交线的求解方法长沙理工大学土木制图教研室概述在土木工程中常常需要绘制地形图，以便于在图纸上描述和解决有关问题。由于地面的形状很复杂，一般为不规则的曲面，且水平尺寸与高度尺寸相差很大，难以用多面正投影法表达清楚，标高投影法是适于表示地形面和复查曲面的一种投影方法。标高投影法：用水平投影加注高度数字表示空间形体的方法所得到的单面正投影（三面正投影中的水平投影图）。标高投影中的高度基准：土木工程中通常采用国家统一规定的水准零点作为基准（我国一般以1956年黄海平面均高程作为基准面，青岛附近的黄海海平面），高度数值称为高程，单位为米，在图上无需注明。为了度量需要标高投影中必须画出绘图比例尺或注出绘图比例。标高是以某海平面为基准面的，为绝对标高，有些时候采用相对标高,已选定的水平面为基准面。标高投影法就是取：在水平投影图上加注特征地形物上某些特殊点、线、面的高程的方法，以高程数字代替立面图的作用。它是一种单面投影，仍然属于正投影。如图画出四棱台的水平投影，并注出上、下底面距某一基面的高度则四棱台的大小和形状就可以完全确定了一、点和直线的标高投影1、点的标高投影在点的水平投影旁，标注出该点距离水平投影面H的高程数字,即得到该点的标高投影。如图设空间三个点A、B、C，其水平投影为a、b、c，在各点水平投影对应字母的右下角标上各点距离水平面的高程数字4，0，-2，这些数字称为各点的标高。选择水平投影面H作为基准面，设其高程为零，当一点高于H面时，标高为正；低于H面时，标高为负；H面上的点的标高为零。2、直线的标高投影1.直线的坡度和平距直线上任意两点的高程差与对应的水平距离之比称为直线的坡度，用字母i表示，i=H/L，与数学上的斜率概念类似。上式表示两点间的水平距离为1个单位（m）时两点的高度差即等于坡度。当直线上两点之间的高差为1时，对应的水平距离数值称为直线的平距l。可见l=L/H=1/i。坡度和平距都能反映直线的倾斜程度。由此可见，平距是坡度的倒数，坡度大则平距小，坡度小则平距大。例求图11-5所示直线AB的坡度与平距，并定出该直线上标高为4.3的C点。解:应先求出直线段AB的高差和水平距离H、L，然后利用上述公式确定直线的坡度与平距。H=7.3-3.3=4L=8(注：按比例尺在图上量取得到)i=H/L=4/8=1/2l=2/1=2HAC=7.3-4.3=3LAC=HAC÷i=6在图上按比例尺量取LAC=6即得C点2.直线的表示法①两点表示直线，即通过直线上两点的标高投影确定直线，②直线上一点的标高投影及直线的坡度和方向，用坡度i和H面投影上箭头所指出的下降方向表示，一般箭头指向下坡，根据坡度i=1就可以唯一地确定这条直线的空间位置。③水平线因平行于H面，水平线上所有点的高程都相同，所以水平线称为等高线。等高线只要画出它的H面投影并注明其高程数，也就可以唯一地确定该等高线的空间位置。直线的实长及确定整数高程点在标高投影中求直线的实长，仍然采用正投影中的直角三角形法。以直线的标高投影为一直角边；直线两端点的高程差为另一直角边，作直角三角形，该直角三角形的斜边为直线的实长，角为直线对基准面H的倾角。在实际工作中常遇到直线的两端点的标高数字并非整数，需要在直线的投影上定出各整数标高点，这些整数标高点称为刻度。求整数标高点有两种方法：计算法（先求出直线的坡度再利用坡度求其他点的投影）和图解法。ααⅣⅤⅥα图解法：如图示，已知直线AB的标高投影a3.5b6.7，求直线AB上的整数标高点，作图方法是在标高投影a3.5b6.7的一侧作五条任意等距与a3.5b6.7平行的平行直线，令最下一条为3个单位，令最上一条为7个单位，分别过a3.5和b6.7作a3.5b6.7的垂线，在垂线上分别按其标高数字3.5和6.7定出A、B两点。连接AB，AB与各平行线的交点IV、V、VI即为直线上的整数标高点。再把它们返回到直线的标高投影a3.5b6.7上，即得直线上的各整数标高点的投影。如各平行线间距采用单位长度，还可以同时求出直线AB的实长和直线对基准面H的倾角。直线的实长及倾角直线的整数高程点3、平面的标高投影：⑴平面上的等高线平面上的水平线称之为等高线，因为这种直线上的任意点的高程都相等。同一平面上的等高线应彼此平行，当高程差相等时，对应的水平距离也应相等。在实际应用中常取平面上整数标高的水平线为等高线。并把平面与基准面（H面）的交线作为高程为零的等高线。平面上的等高线具有以下特性：①等高线是直线；②等高线互相平行；③等高线平距相等。（2）坡度比例尺将平面上的最大坡度线的投影附以整数高程，并画成一粗一细的双线，使与一般直线有所区别，这种表示法称为平面的坡度比例尺。坡度比例尺与等高线垂直。坡度比例尺上的刻度间距就是等高线的平距。坡度比例尺最大坡度线等高线α平面内的坡度线：平面内对水平面的最大斜度线就是平面内的坡度线。特性：1、平面内的坡度线与等高线互相垂直，它们的水平投影也互相垂直；2、平面内坡度线的坡度就代表平面的坡度，坡度线的平距就是平面内等高线间的平距。平面在标高投影中的表示法（1）几何元素的标高表示平面：①不在同一直线上的三个点；②一条直线和直线外一点；③相交两直线；④平行两直线；⑤任意的平面图形。（2）坡度比例尺表示平面在标高投影中平面的坡度比例尺的位置和方向一旦确定，平面的位置和方向随之而定，平面上的等高线也相应确定。（3）一条等高线和平面的坡度表示根据平面上的一条等高线可以确定平面的最大坡度线的方向，即平面的方向。由于平面的坡度已知，则平面的位置和方向就确定了。如要求平面上的等高线，先利用坡度得等高线的平距，然后作已知等高线的垂线，按图中比例在垂线上截取平距，过这些点作已知等高线的平行线即为所求等高线。（4）一条非等高线和平面的坡度表示平面过一条直线可以作无数个平面，然而在平面的坡度和倾斜方向确定后，包含该直线的平面就唯一确定。图中的箭头只是表示平面大致向直线的某一侧倾斜，并不表示平面的准确坡度方向，因此将它画成带箭头的虚线。分析：该平面上高程为1的等高线必通过执行上点a1，且与b4的水平距离L=H÷i=6。以b4为圆心，R=6m为半径画圆弧，过点a1作直线与圆弧相切，切点为k0，直线a1k1即为此平面上高程为1的等高线。以B为锥顶，作一素线坡度为i=1：2的正圆锥，此圆锥与高程为1的水平面交于一圆，圆的半径为6，过点B包含直线AB作一平面与此圆锥相切，切线BK为圆锥的一条素线，也是所做平面上的一条坡度线。直线AK就是该平面上高程为1的等高线。例：如图已知a2b4c7三点确定一平面，求平面的等高线、坡度比例尺和平面对基准面的倾角。解：先求a2c7上高程为4的标高点d4，连接bd即为平面上高程为4的等高线，过c7作等高线的垂线，就是平面上的最大坡度线，在最大坡度线上按平距（等高线的平距）划分刻度即为坡度比例尺，以平距为一直角边，对应的高差为另一直角边，构成直角三角形，直角三角形高差直角边的顶角即为平面对基准面的倾角。α等高线坡度比例尺d已知平面内一条等高线8和坡度i=1：2，该平面的表示方法如图。斜面用平面内一条直线的标高投影和平面的坡度来表示。两平面的相对位置（1）两平面平行若两平面平行，则两平面的等高线平行，平距相等，或两平面的坡度比例尺平行，平距相等，且标高数字的增减方向相同。（2）两平面相交在标高投影中，求两平面的交线时，通常采用水平面作为辅助平面，水平辅助面与两个相交平面的截交线是两条相同高程的等高线。这两条等高线的交点就是两平面的共有点，即交线上的点，两次截切求得两对不同高程的等高线的交点，连线即为两平面的交线。实际工程中，把建筑物上相邻两坡面的交线称为坡面交线，坡面与地面的交线称为坡脚线（填方）或开挖线（挖方）。通常利用两平面内同标高等高现相交，分别找出两个共有点并连接起来求得交线。例1、求两平面的交线：1、做出两平面同高程的等高线；2、两条同高程的等高线相交的两个交点；3、连接这两个交点便得到这两个平面交线的标高投影30比例尺：1：2002025例在高程为零的地面上挖一基坑，基坑底高程为－2m，基坑底的大小、形状和各坡面的坡度如图示，求开挖线和坡面交线。解：开挖线：地面高程为零，因此开挖线就是个坡面上高程为零的等高线。它们分别与相应的基坑底边线平行，其水平距离由L=H÷i求得，L1=L2=2÷1=2L3=2÷（1/2）=4L4=2÷（1/1.5）=3坡面交线：相邻两坡面上高程相同的两等高线的交点就是两坡面的共有点，分别连接相应的两个共有点，即得到四条坡面交线。示坡线：在高处等高线上用一系列长短线表示2面倾斜方向，这些长短线称为示坡线，示坡线的方向规定与面上的等高线垂直。例：求图示两平面的交线。分析：三种交线：一为坡脚线；二为支堤堤顶与主堤边坡面的交线；三为主堤坡面与支堤坡面的交线。作图过程：1、求坡脚线；2、求支堤堤顶与主堤坡面的脚线；3、求主堤与支堤坡面间的脚线。画出各坡面的示坡线。例如图示，已知一斜坡路堤a0b0c2d2，求斜坡路堤的坡面线和坡脚线。解：坡脚线：坡脚线即为各坡面上高程为零的等高线，CD向坡面的坡脚线与c2d2平行，水平距离L1=H÷i=2÷（1/1.5）=3mBC向坡面和AD向坡面的坡脚线求法与图11-10b相同，分别以c2、d2为圆心，L2=H÷i=2÷（1/1）=2m为半径画圆弧，再自a0、b0分别作两圆弧的切线，即为斜坡路堤两侧的坡脚线。坡面交线：同高度等高线交点的连线。示坡线：画出各坡面的示坡线，其中斜坡路堤两侧坡面的示坡线垂直于相应的坡脚线。三、曲面的标高投影曲面的表示法：在标高投影中，曲面的标高投影就是用一系列的水平面与曲面相截，画出水平面与曲面的截交线的标高投影表示曲面的标高投影。规则曲面：正圆锥的标高投影正圆锥面上的等高线都是圆，当所取的水平面的高差相等时，其水平投影是半径差相等的同心圆。在这些同心圆上注明高程数值，就是锥面的标高投影，高程数字的字头规定朝向高处，正圆锥和倒圆锥都是如此。同坡曲面表面上任何地方的坡度都相同的曲面称为同坡曲面。如图，以一条空间曲线为导线，一个正圆锥的顶点沿该曲导线运动，在运动过程中，正圆锥顶角不变，轴线始终垂直水平面，则所有这些正圆锥的包络面就是同坡曲面。从同坡曲面的形成过程可以看出，同坡曲面上的等高线和圆锥面上的等高线一定相切。切点在同坡曲面与圆锥面的切线上。4212048162043414044例求图示弯坡道a0b1c2d3e3f2g1h0的内外坡面范围及坡面交线，弯坡连接路堤，地面高程为零，要求坡度为1：1，画出弯坡内外坡面的整数高程等高线。解：由于要求统一的坡度，弯坡道的内外坡面为同坡曲面。内侧坡面：分别以b1、c2、d3为锥顶，作出坡度为1：1的正圆锥，画出这些圆锥面上高程为0、1、2的等高线——水平圆，作公切于这些同高程水平圆的曲线，所画曲线即为同坡曲面的等高线。外侧坡面：作图过程与内侧坡面相同。坡面交线：同坡曲面上与路堤标高数值相等的等高线的交点为坡面交线上的点，连接各点即得内外坡面的交线。路堤不规则曲面：地形面地形面的标高投影用曲面上的一系列等高线表示。用一组高差相等的水平面截割地形面，得到一组高程不同的等高线，注明每条等高线的高程，即得到地形面的标高投影，又称为地形图。地形图上等高线的高程数字的字头规定朝向上坡方向，相邻等高线之间的高差称为等高距，土木工程地形图上相邻等高线的高差一般为20m,一般地形图中每隔四根画得较粗并注有标高数字的等高线称为计曲线，在地形图上需注明画图比例。常见的有山丘、山谷、马鞍形等地形。由于地形面是不规则的曲面，因此，地形等高线是不规则的曲线。地形面上的等高线具有如下特性：（1）等高线一般是封闭曲线；（2）除悬崖绝壁的地方外，等高线一般不相交；（3）等高线愈密表示地势愈陡；反之地势愈平坦。120481620地形面的表示方法1、等高线不能相交（悬崖、峭壁除外）2、同一张地形图上，等高线愈密，地形变化越大，等高线越稀，则地形变化小。