第二章2.5导数在经济学中的应用

某一商品的需求量是指关于一定的价格水平，在一定的时间内，消费者愿意而且有支付能力购买的商品量。2.5导数在经济学中的应用（一）常用的经济函数1.需求函数消费者对某种商品的需求量是由多种因素决定的，例如，人口、收入、季节、该商品的价格、其他商品的价格等。如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量Q便是价格P的函数，记QfP称f为需求函数，同时f（P）的反函数也称为需求函数。1PfQ一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，需求函数是单调减少的。人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数线性函数：QaPb，其中,0ab幂函数：aQkP，其中0,0ka指数函数：ebPQa，其中0,0ab例1,0QaPbab设某商品需求函数为讨论P=0时的需求量和Q=0时的价格。解：当P=0时，Q=b，它表示当价格为零时，消费者对商品的需求量为b，b也就是市场对该商品的饱和需求量，也称为最大需求量。当Q=0时，P=b/a，它表示当价格上涨到b/a时，没有人愿意购买该产品。2.成本函数成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额。成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。例2.设某厂的生产函数24QL，其中L表示劳动力数量，求劳动力价格为1152时的可变成本函数CCQ解：由24QL，得2576QL，这样22115211522576QCLQ即可变成本函数22CQ3.收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，用Q表示出售的产品数量，R表示总收益，表示平均收益，则R,RQRRQRQ如果产品的价格P保持不变，则,RPQRP4.利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，即LQRQCQ例3.已知某产品价格为P，需求函数为505QP成本函数为502CQ，求产量Q为多少时利润L最大？最大利润是多少？解：由需求函数505QP，可得105QP于是，收益函数为2105QRPQQ因此，20Q时，最大利润为30。这样，利润函数为28505QLRQCQQ2120305Q（1）边际成本（二）边际成本与边际收入（2）边际平均成本总成本函数CQ的导数，称为边际成本。00limlimQQCQQCQCCQQQ平均成本CQ的导数，称为平均边际成本。CQCQQ2QCQCQQ一般说来，总成本CQ等于固定成本0C与可变成本1CQ之和，即01CQCCQ于是，边际成本为011CQCCQCQ显然，边际成本与固定成本无关。例4.设某产品生产Q单位的总成本为211001200QCQ求：（1）生产900个单位时的总成本和平均成本；（2）生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率；（3）生产900个的边际成本，并解释其经济意义。总成本函数：211001200QCQ解：（1）生产900个单位时的总成本为290090011001200QCQ1775平均成本为900QCQCQQ17759001.97（2）生产900个单位到1000时总成本的平均变化率为总成本函数：211001200QCQ解：10009001000900CQCCQ193317751.58100总成本函数：211001200QCQ解：（3）边际成本函数21200600QQCQ当Q=900时的边际成本为90018001.51200QCQ它表示当产量为900个单位时，再增加一个单位，需增加成本1.5个单位。（或减少）（或减少）（3）边际收益定义：00()()()limlimQQRRQQRQRQQQ()()RQPQQPQ，总收益函数()RQ的导数称为边际收益函数。设P为价格，()PPQ，因此()()()RQPQQPQ例3设某产品的需求函数为205QP，其中P为价格，Q为销售量，求销售量为15个单位时的总收益，平均收益与边际收益．并求销售量从15个单位增加到20个单位时收益的平均变化率．解：2()205QRQPQQ21515(20)2555QQQRQ1515()2551715QQRQRQ总收益为销售15个单位时，总收益平均收益15152()(20)145QQRQQ(20)(15)3202551320155RRRQ边际收益当销售量从15个单位到20个单位时的平均变化率为例4.当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为210eQPPQ，其中Q为需求量，P为价格，且最大需求量为6，求该商品的收益函数和边际函数。解：2()10(06)QRQPQQeQ2()5(2)(06)QRQQeQ（4）边际利润定义：00()()()limlimQQLLQQLQLQQQ边际利润表示：若已经生产了Q单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润．收益函数边际收益函数总利润函数LQ的导数称为边际利润。CQ一般情况下，总利润函数LQ等于总收益函数RQ与总成本函数之差。即LQRQCQ则边际利润为LQRQCQ显然，边际利润可由边际收入与边际成本决定，CQRQCQCQ时，000LQ()25010LQQ20()(20)50QLQL25()(25)0QLQL35()(35)100QLQL例5.Q某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后得出总利润()LQ（元）与每月产量（吨）的关系为2()2505LLQQQ，试确定每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润，并作出经济解释。解：边际利润函数为20()50QLQ25()0QLQ35()100QLQ上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高.边际利润（三）弹性函数的定义对一般的x，若fx可导且0fx，则有00/limlim/xxEyyyyxxyExxxxyy是x的函数，称为fx的弹性函数（简称弹性）函数fx在点x处的弹性EfxEx反映了x的变化幅度xx对fx变化幅度yy的大小的影响，也就是fx对x变化反应的强烈程度或灵敏度。0EfxEx表示在点0xx处，当x产生1%的改变时，fx近似地改变0%EfxEx。由弹性的定义EyxyyyExyx边际函数平均函数弹性在经济学上可理解为边际函数与平均函数之比。需求的价格弹性需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为0dlimddpQPQPEPQPQ解：d100dQP2010021000EP例7某需求曲线为1003000QP，求P=20时的弹性。，当P=20时，Q=1000，所以