概率论与数理统计论文

概率论与数理统计的发展与应用举例摘要：通过本学期概率论与数理统计这门课的学习，我基本掌握了基本的概率知识，这对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。本文将根据自己的学习心得，概率论的历史、发展和主要内容，经典习题三个方面来阐述我对本门课的总结。关键词：概率论，数理统计，生产发展，主要内容，经典习题概率论与数理统计是研究随机现象规律性的一门科学。前者是从数学观点研究随机现象的基本性质，后者从搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特性。一：概率论与数理统计的起源与发展1、概率论概率论的研究始于意大利文艺复兴时期，当时赌博盛行，而且赌法复杂，赌注量大，一些职业赌徒，为求增加获胜机会，迫切需要计算取胜的思路，研究不输的方法，十七世纪中叶，帕斯卡和当时一流的数学家费尔马一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题，这就是概率论的萌芽。1657年荷兰物理学家惠更斯发表了“论赌博中的计算”的重要论文，提出了数学期望的概念，伯努利把概率论的发展向前推进了一步，于1713年出版了《猜测的艺术》，指出概率是频率的稳定值，他第一次阐明了大数定律的意义。1718年法国数学家棣莫弗发表了重要著作《机遇原理》，书中叙述了概率乘法公式和复合事件概率的计算方法，并在1733年发现了正态分布密度函数，但他没有把这一结果应用到实际数据上，直到1924年菜被英国统计学家K·皮尔森在一家图书馆中发现。德国数学家高斯从测量同一物体所引起的误差这一随机现象独立的发现正态分布密度函数方程，并发展了误差理论，提出了最小二乘法。法国数学家拉普拉斯也独立的导出了该方程，对概率的意义如何抽象化做出了杰出的贡献，提出了概率的古典定义。到19世纪末，概率论的主要研究内容已基本形成。1933年苏联数学家柯尔莫科洛夫总结前人之大成，提出了概率论公理体系，即概率的公理化定义。概率论里所说的极限定理，主要研究独立随机变量序列的各种收敛性问题，其中包括两种类型定理：一类是大数定律，一类是中心极限定理。当代概率论的研究方向大致可分为极限理论，马尔可夫过程，平稳过程，随机微分方程等。2、数理统计数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的收集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题做出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议。数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动，其发展大致课分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段。古典时期这是描述性的统计学形成和发展的阶段，是数理统计的萌芽时期。在这一时期里，瑞士数学家贝努里较早地系统论证了大数定律。1763年，英国数学家贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，后背发展为一种统计论断方法——贝叶斯方法，棣莫弗发现了正态分布的密度函数，高斯提出最小二乘法。近代时期是数理统计的形成时期，英国数学家皮尔逊提出了矩估计法和频率曲线的理论，χ2检验；统计学家戈赛特创立了小样本检验，即t分布和t检验法，并由费歇推广，这样，数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设计等有了决定其面貌的内容和理论。现代时期美籍罗马尼亚数理统计学家瓦你德发展了决策理论，提出了一般的判别问题，创立了序贯分析理论，提出著名的序贯概率比检法。3、二者的结合起重要作用的是凯特勒，他在自己的研究工作中，把统计学与概率论结合起来，首次在社会科学的范畴内提出了大数律思想，并把统计学的理论建立在大数律的基础上，并论证了概率论方法对于统计价值的必要性。二、概率论与数理统计的内容1、概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常熟附近，就可以认为这个事件发生的概率为这个常数，介于0和1之间。有一类随机事件，具有两个特点：一，只有有限个可能的结果；二，各个结果发生的可能性相同。这样的随机现象叫做“古典概型”。在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量，它有有限和无限之分，又可根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。在离散型随机变量的概率分布中，二项分布较典型，在连续型随机变量中正态分布曲线较常见。2、数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况，在抽样检查中产生了“小样理论”，即在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。适线问题也叫曲线拟和，有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，又如何判断它们的误差？······就属于数理统计中适线问题的讨论范围。假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先做出假设，再根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设作出判断。方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。三、概率论与数理统计的应用概率论与数理统计的应用几乎遍布所有的科学技术领域，工农生产和国民经济的各个部门。如：1、气象、水文、地震预报、人口的控制及预测都与概率论紧密相关。2、产品的抽样验收，新研制的药品是否能在临床中应用要用到假设检验。3、寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据处理。4、电子系统的设计，火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计。5、处理通信问题，需要研究通信论。6、探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用。7、研究化学反应的时变率，要以马尔科夫过程来描述。8、生物学中研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量生灭型随机模型。9、许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论。在经济现象中往往存在众多不确定因素，所以决策总带有一定的风险。数理理论在企业风险决策管理中就必不可少了。下面以具体例子加以说明。例1某物流企业有十万元，现在又三种投资方案：意识投资低端运载机械获取利息，假设年利率是5%，则可获得利息5，000元；二是投资中端运载机械的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利2万元，形势一般可获利1万元，形势差则要损失1万元；三是高端运输机械，若经济形势好可获利4万元，形势一般可获利2万元，形势差则损失3万元。假设经济形势好、一般、差的概率分别为30%,50%和20%，则哪一种投资方案收益最大？解：不同经济形势下投资的收益也不同，所以采用期望值标准。设E1，E2，E3分别表示投资低端，中端，高端所获得的收益的期望，则：E1=5000元E2=200000.3+100000.5+(-10000)0.2=9000元E3=400000.3+200000.5+(-30000)0.2=16000元所以按最大收益原则，应选择投资高端机械，其期望收益最高。例2设某企业可信度为0.8，问该企业多次是新后其可信度变为多少？解：记事件A为“不可信”，事件B为“可信”，则客户过去对该企业印象为P(B)=0.8,P(A)=1-P(B)=0.2,用贝叶斯公式来求P(B丨A)，即该企业失信一次后客户对其可信度的改变。计算中我们要用到概率(|)0.1PAB，(|)0.5PAB第一次客户相信该企业，发现该企业不可信，对该企业的可信度变为(|)()(|)/[()(|)()(|)]0.444PBAPBPABPBPABPBPAB这表明，客户上了一次当后对该企业的可信度由原来的0.8变为0.444，在此基础上再一次用贝叶斯公式计算P(B丨A)，得到信用度为0.138。以上分析表明，客户经过再次上当，对这家企业的可信度降低。多次上当后，可信度会降到极其小。例3游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.解：设候梯时间为T，则5,5,25,525,()55,2555605,55.XXXXTgXXXXX6001[()]()()()60ETEgXgxfxdxgxdx52555600525551(5)(25)(55)(65)60xdxxdxxdxxdx1[12.520045037.5]11.6760.例4设(,)XY的概率密度为,0,(,)0,.yexyfxy其他，求边缘密度和概率(1)PXY。解：0,0,0,0,()(,),0.,0;Xxyxxxfxfxydyexedyx00,0,0,0,()(,),0.,0;yYyyyyfyfxydxyeyedxy111122001(1)(,)()xyxxxxyPXYfxydxdyedydxeeedx11212ee.例5设A和B两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电阻，算得22711.0710ASS，22625.310BSS，若A批导线的电阻服从212(,)N分布，B批导线的电阻服从222(,)N，求2122的置信度为0.90的置信区间.解：2122的置信区间为22221212/2121/212//(1,1)(1,1)SSSSFnnFnn其中2726120.051.0710,5.310,0.10,(4,4)6.39.SSF0.950.051(4,4)0.1565(4,4)FF.所以2122的置信度0.90下的置信区间为1.07/531.07/53,(0.0032,0.1290)6.390.1565实践证明，概率统计在现代社会各个方面的应用是极其广泛的，在知道人们经济决策等方面也发挥着重大作用。通过在各领域中应用的典型实例，可以验证概率选择在现代管理应用中的作用与有效性。所以，概率统计将越来越成为不可或缺的应用理论。参考文献：1杨静，徐传胜数学技术与概率论的发展20082徐传胜概率论简史20043梁旭古典概率的研究—走出赌博20074申永荣概率论与数理统计教学方法探讨20085黄敢基概率论与数理统计课程教学模式探讨与实践20096杨洪礼概率论与数理统计2007