2017北京各区数学一模分类汇编--第28题几何压轴(含答案)

（东城一模）28.在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为___________；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE.①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；……请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1图2图3（西城一模）28．在ABC△中，ABBC，BDAC于点D．（1）如图1，当90ABC时，若CE平分ACB，交AB于点E，交BD于点F．①求证：BEF△是等腰三角形；②求证：1()2BDBCBF；（2）点E在AB边上，连接CE．若1()2BDBCBE，在图2中补全图形，判断ACE与ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解ACE与ABC关系的思路．（海淀一模）28．在ABCD中，点B关于AD的对称点为B，连接AB，CB，CB交AD于F点.（1）如图1，90ABC，求证：F为CB的中点；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点B作BG∥CD交AD于G点，只需证三角形全等；想法2：连接BB交AD于H点，只需证H为BB的中点；想法3：连接BB，BF，只需证90BBC．……请你参考上面的想法，证明F为CB的中点．（一种方法即可）（3）如图3，当135ABC时，AB，CD的延长线相交于点E，求CEAF的值．图1图2DCABFEADCBFB'CADBFEB'CADBFB'CADB图1图2图3（朝阳一模）28．在△ABC中，∠ACB=90°，ACBC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE=AD.（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB=110°时，求∠DAE的度数；（2）在图2中，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE.①依题意补全图形；②求证：BF=DE.（丰台一模）28．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．（1）如图1，当BE=2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP．想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，需证△EHP为等腰三角形．想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）图1图2FABCDEFABCDE图1图2（石景山一模）28．在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A，C不重合），连接BE．（1）将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F.①依题意补全图1；②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的关系，只需证AE，AM，EM的关系.想法2：将ABE△沿BE翻折，得到NBE△，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系.……请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；（一种方法即可）（2）如图2，若将直线．．BE绕点B顺时针旋转135°，交直线．．AC于点F.小研完成作图后，发现直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系.（顺义一模）28．在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；（2）如图2，连接AH，GH．ABDCEABDCEDECABCABCAB小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG.……请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．（一种方法即可）（通州一模）28．在等边三角形ABC中，E为直线AB上一点，连接EC.ED与直线BC交于点D，ED=EC.（1）如图1，AB=1，点E是AB的中点，求BD的长；（2）点E是AB边上任意一点（不与AB边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE与BD间的数量关系并证明；（3）点E不在线段AB上，请在图3中画出符合条件的一个图形.图1图2图3图2图1ABCDEFGHHFEGDCBAABDBACCD图1图2（平谷一模）28．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．（房山一模）28.在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，点D为直线BC上一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC.（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：①依题意补全图1；②求证：∠BAD=∠EDC③通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有∠DCE=135°.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：想法一：在AB上取一点F，使得BF=BD，要证∠DCE=135°，只需证△ADF≌△DEC.想法二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F.要证∠DCE=135°，只需证△AFD≌△ECD.想法三：过点E作BC所在直线的垂线段EF，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF.……请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°.（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE的度数；如果不是，说明你的理由.图1DCABE备用图DCABE,60...ADDEADEADEABCEABDACABACAEADEABDACCDBE，△为等边三角形.△为等边三角形,，，△≌△EABCDFEABCDGEABCD东城28.解：（1）30°；…………1分（2）思路1：如图，连接AE.…………5分思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F.…………5分思路3：延长CB至G，使BG=CD.…………5分（3）k(BE+BD)=AC.…………7分=60.,=60..===60,.,..ABCACBCBACDFABDFCCDFAFBDADEACBABCDAFEDBADDEADFDEBDFBECD△为等边三角形，，∥△为等边三角形.又△≌△=60.,.===60,.,.,==60..ABCACBCBACCDBGDGACADEACBABCDAFEDBADDEADCDEGCDEGBGCGBGEBEBGCD△为等边三角形,，又△≌△△为等边三角形.西城28.证明：在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D．∴∠ABD=∠CBD，AD=BD．（1）①∵∠ABC=90°．∴∠ACB=45°．∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE=22.5°．∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°．∴BE=BF．∴△BEF是等腰三角形．························2分②延长AB至M，使得BM=AB，连接CM．∴BD∥CM，BD=12CM．∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°．∴∠BFE=∠MCE．∴BC=BM．由①可得，BE=BF，∠BEF=∠BFE．∴∠BFE=∠MCE=∠BEF．∴EM=MC．∴BD=12（BC+BF）．···················································································5分（2）∠ACE==14∠ABC．a．与（1）②同理可证BD∥CP，BD=12PC，BP=BC；b．由BD=12（BC+BE）可证△PEC和△BEF分别是等腰三角形；c．由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°，∠FCD+∠DFC=90°．可证∠ACE==14∠ABC．……………………7分海淀28．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴□ABCD为矩形，AB=CD.∴.∠D=∠BAD=90°.∵B，B关于AD对称，∴∠BAD=∠BAD=90°，AB=AB．-----------------1分∴∠BAD=∠D．∵∠AFB=∠CFD，∴△AFB≌△CFD（AAS）.∴FB=FC．∴F是CB的中点．----------------------------------------------------------------------------2分（2）证明：方法1：过点B作BG∥CD交AD于点G．∵B，B关于AD对称，∴∠1=∠2，AB=AB．∵BG∥CD，AB∥CD，∴BG∥AB．∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴BA=BG．∵AB=CD，AB=AB，∴BG=CD．-------------------------------------------------------------------------------------3分∵BG∥CD，∴∠4=∠D．-----------------------------------------------------------------------------------------4分∵∠BFG=∠CFD，∴△BFG≌△CFD（AAS）.∴FB=FC．∴F是CB的中点．-------