优化模型数学建模实验报告

科学技术学院上机报告课程名称数学建模上机项目优化模型专业班级11数学与应用数学（师范）姓名学号一、问题提出问题一、某厂根据产品成本和销售情况，在产销平衡条件下（产品的产量等于市场的销售量），如何确定商品的最优价格，使获得利润最大。根据PPT课件中的假设条件等说明，请同学们建立模型并求解。二、问题分析三、模型假设1）产量等于销量（产销平衡），记作x2）收入与销量x成正比，系数p即价格3）支出与产量x成正比，系数q即成本4）销量x依赖于价格p,x(p)是减函数。5)进一步设(),,0xpabpab四、模型建立利润是销售收入与生产支出之差，设每件产品售价为P，成本为q，售量为x（与产量相等），则总收入与总支出分别为(1)(2)IpxCqx在市场竞争的情况下售量x依赖于价格p，记作()(3)xfpf称需求函数，是p的减函数。于是不论成本q是否与x相关，收入I和支出C都是价格p的函数。模型建立利润U可以表示为()()()(4)UpIpCp五、模型求解要使利润U（p）达到最大的最优价格p*可以由*|0ppdUdp得到，即有：**||(5)ppppdIdCdpdp再由(),,0(6)fpabpab并且每件产品的成本q与产量x无关，将（1）~（3）公式代入（4）式可得()()()(7)Uppqabp最后用微分法容易求出使U(P)最大的最优价格p*为*(8)22qapb一、问题提出问题二、某公司生产一种产品有甲、乙两个品牌，试讨论产销平衡下，如何确定各自的产量，从而获得最大利润。利润既取决于销量和单件价格，也依赖于产量和单件成本。按照市场规律，甲种品牌的价格1p固然会随其销量1x的增长而降低；同时乙品牌销量2x的增长也会使甲的价格有稍微下降，根据该厂的实际情况进行大量调查，价格与销量呈现线性关系，即1p＝300－2.351x－0.092x乙的价格2p遵循同样的规律，有2p＝480－0.141x－2.982x甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低，按该厂的实际情况进行大量调查，呈现为负指数关系，即有1q＝381023.0xe＋116乙品牌的成本2q遵循同样的规律，有2q＝942018.0xe＋145试确定甲、乙两种品牌的产量，使公司获得的总利润最大。二、问题分析三、模型假设1．价格与销量成线性关系利润既取决于销量和价格，也依赖于产量和成本.按照市场规律，甲的价格p1会随其销量x1的增长而降低，同时乙的销量x2的增长也会使甲的价格有稍微的下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系，即：p1=b1-a11x1-a12x2，b1，a11，a120，且a11a12；同理，p2=b2-a21x1-a22x2，b2，a21，a220，且a22a21.2．成本与产量成负指数关系甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为负指数关系,即:11111111e,,,0xqrcrc同理，22222222e,,,0xqrcrc四、模型建立由题设可知，甲品牌产品单件获利为1p－1q，乙品牌产品单件获利为2p－2q，由产销平衡原理，所有产品的销量即为产量，则甲、乙两种产品总获利为),(21xxz＝（1p－1q）1x＋（2p－2q）2x五、模型求解容易看出，原问题实际上转化为求二元函数),(21xxz的极大值，为用MATLAB优化工具箱中的fminunc求解，需将其转化为求函数),(21xxy＝－),(21xxz的最小值。为确定初始值，先忽略成本，并令1p价格中2x项的较小系数0.09和2p中1x项较小的系数0.14等于零（因为它们对价格的作用比较微弱，暂时可忽略不计），则确定初值问题转化为求),(21xxz＝（300－2.351x）1x＋（480－2.982x）2x的极值，很容易可以求得1x＝35.22300＝63.83，2x＝98.22480＝80.54，我们用它作为原问题的初始解。首先建立M–文件，文件名取函数名fun1.mfunctiony=fun1(x)p1=300-2.35*x(1)-0.09*x(2);q1=38*exp(-0.023*x(1))+116;p2=480-0.14*x(1)-2.98*x(2);q2=94*exp(-0.018*x(2))+145;y=-(p1-q1)*x(1)-(p2-q2)*x(2)输入命令：x0=[63.83;80.54];[x,fval]=fminunc('fun1',x0);可得到结果：x=35.848254.7380fval=-1.0015e+004截图显示为:所以甲种品牌产量为35.8482，乙种品牌产量为54.7380，最大利润和为1.0015e+004.