等差数列课件(第一课时)

复习回顾数列的定义，通项公式，递推公式按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项an与它的前一项an-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，10，15，20，…①2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.②水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5.③我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：10072，10144，10216，10288，10360.④四个实例从第二项起，后一项与前一项的差是5。从第二项起，后一项与前一项的差是5。从第二项起，后一项与前一项的差是-2.5。从第二项起，后一项与前一项的差是72。请同学们思考，这四个数列有何共同特点?等差数列的定义•一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。定义的符号表示是：an-an-1=d(n≥2,n∈N*),这就是数列的递推公式。数列{an}为等差数列an+1-an=d或an+1=an+d那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。是不是不是练习一判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，0，…（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…1111(5)1,,,,,2345思考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0通项公式的推导•设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…所以有：a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3dan=a1+(n-1)d当n=1时，上式也成立。所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d问an=?通过观察：a2，a3，a4都可以用a1与d表示出来；a1与d的系数有什么特点？(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(n-1)d∴an-a1=(n-1)d即an=a1+(n-1)da2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…an-an-1=da1、an、n、d知三求一例题例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列–5,-9,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20∴这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=-3n+11∴a20=11-3×20=-49分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴这个数列的通项公式是：an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1令-401=-4n-1,得n=100∴-401是这个数列的第100项。练习二（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；（2）判断102是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。解：（1）根据题意得：a1=3,d=7-3=4,∴这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=4n-1∴a4=4×4-1=15,a10=4×10-1=39.（2）由题意得：a1=2,d=9-2=7∴这个数列的通项公式是：an=2+(n-1)×7=7n-5(n≥1)令102=7n-5,得n=107/7N∴102不是这个数列的项。例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.511214101131aadaad这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。例题123ad从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。练习三已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.11310619adad∴这个数列的首项是1，公差是3。解：依题意得：113ad解之得：例3、已知数列{na}的通项公式qpnan，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？解：])1([)(1qnpqpnaannpqppnqpn)(为常数∴{na}是等差数列首项qpa1，公差为p。例4、已知数列114{}44(1).nnnaaana满足且记12nnba（Ⅰ）求证：数列}{nb是等差数列；（Ⅱ）求数列{}na的通项公式例5、1,13111aaaannn求数列na的通项公式.解：取倒数：11113131nnnnaaaa则1113nnaana1是等差数列，3)1(111naan3)1(1n231nan有些数列若通过取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.已知数列na中，21a，n≥2时133711nnnaaa，求通项公式.设正项数列na满足11a，212nnaa（n≥2）.求数列na的通项公式.课时小结•通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式：an+1-an=d(n≥1且n∈N*);•其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1).•本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。已知等差数列{an}中，am、公差d是常数，试求出an的值。分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am,d看成是常数.解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：am=a1+(m-1)d①an=a1+(n-1)d②②-①得：an-am=a1+(n–1)d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d∴an=am+(n-m)d思考题：nmaadnm变形等差数列的通项公式：等差数列如果一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么我们可以根据等差数列的概念得到：an-a1=(n-1)da4-a3=da2-a1=da3-a2=dan-1-an-2=dan-an-1=d…………+等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d等价变形：a1=an-(n-1)dd=(an-a1)/(n-1)n=(an-a1)/d+1等差数列思考:an=a1+(n-1)dam=a1+(m-1)dam-an=(m-n)dd=am-an/(m-n)am=?am-an=?am=an+(m-n)d