等比数列的前n项和说课课件

等比数列的前n项和（第一课时）（选自人教版高中数学第一册（上）第三章第五节）教学思路与认识教材分析教学方法教学过程教学反思一.教材分析（1）《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，是数列求和的基本工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄中分期付款的有关计算，而且它是基本数学思想、方法的载体，公式推导中所使用的错位相减法是数列求和的一个重要方法，公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．（一）从本节课内容在教材中的地位与作用来看一.教材分析（2）（二）.教学目标知识目标：使学生掌握等比数列前n项和公式及其运用，理解公式的推导。能力目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．、设计意图：：体现了数学教学的首要环节----基础知识的落实、基本技能的形成，数学教学的最终目的-----通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展．情感目标：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．培养学生勇于探索、创新的精神。一.教材分析（3）（三）.重点和难点重点：掌握等比数列前n项和公式及其运用，理解公式的推导。难点：理解等比数列前n项和公式推导方法---错位相减法及公式的灵活运用。设计意图：这样确定重点，既能夯实“双基”，又凸现了掌握知识的三个层次：识记、理解和运用．而公式推导用到了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点．二.教学方法（1）（一）．从学生的认知角度来看学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是认知的有利因素．认知的不利因素有：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，一个是倒序相加，一个是错位相减，这对学生的思维定势是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．（二）．学情分析教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨．（三）、类比探究发现法：对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系．在教学中，我采用“类比探究发现法”的教学模式，引导学生从等差数列前n项和从公式的推导方法中挖掘出数列求和的实质---利用性质将前n项和中抽象的项的运算转化为具体的项的的运算，类比等差数列前n项和公式的推导思路推导出等比数列前n项和从公式，把整个探索过程分为呈现问题、探索公式、总结公式、应用公式四个阶段．新课标理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”，指导学生学会“类比探究发现法”的学习方法，从类比中探索研究从而找到问题的思路和方法。使学生不断形成勤于思考,实践“类比探究发现法”这一学习数学的重要方法利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．二.教学方法（2）三.教学过程（1）第一环节:创设情境引出问题第二环节:类比引导探索发现第三环节:发散思维深化目标第四环节:课堂演练巩固提高教学过程第一层：回顾相关知识第二层：类比发现思路第三层：展示推导过程第一方面：反思推导过程第二方面：集思广益第三方面：分析公式特点第五环节:总结反馈布置作业学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：四.教学过程（2）第一环节创设情境、提出问题（1）甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？（一）、数学游戏问题：设计意图：①更加有趣又贴近生活②蕴涵公比分别为ｑ＝１与q≠1两个等比数列，开门见山，体现分类讨论思想,直击学生易错点四.教学过程（3）第一环节创设情境、提出问题（2）（二）、数学建模(应用问题数学化){an}：100，100，100……100q=1{bn}：1，2，22……229q=2S30=100+100+……+100与T30=1+2+22+……+229比较大小，求和问题如何化简？（三）、给出课题：等比数列的前n项和（具体问题一般化）等比数列{an}当q=1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=na1当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=？如何化简？（一）回顾相关知识:四.教学过程（4）第二环节：类比引导探索发现（1）设计意图：建立联系扫清障碍突破难点。再次揭示倒序相加法的实质，利用其“等差”特性将前n项和中抽象的项的运算转化为具体的项的的运算的数学思想。为发现错位相消法埋下伏笔。2、等差前n项和从公式及其推导方法、思路核心？1、等差数列、等比数列有什么性质？3、数列求和的是关键什么？四.教学过程（5）第二环节：类比引导探索发现（2）（二）类比发现思路1、引导学生从事物的表象（手段）看事物的本质（求和本质）。类比等差前n项和从公式的推导思路核心------利用其“等差”特性将前n项和中抽象的项的运算转化为具体的项的运算的数学思想。2、利用其“等比”特性，每项乘q得qSn，观察Sn、qSn两式中相应项的位置关系----发生错位。。3、Sn、qSn两式中出现众多公共项，相减，求和中抽象的项的运算转化为具体的项的运算，得出公式。n1a(1-q).(1)1-qnSq由Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②①—②得：Sn（1—q）=a1—a1qn（三）展示推导过程第二环节：类比引导探索发现（3）四.教学过程（6）得到:等比数列{an}前n项和11)1(111qqqaqnaSnn二者不能兼容体现分类讨论的必要性甲得到：230–1(分)＝10737418.23(元)乙得到：3000元甲赢数学游戏问题答案：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）第一方面:反思探求公式方法错位相减法：由前面证明过程的分析Sn—qSn这一思路正是用等比数列“等比”的特性，让Sn、qSn两式中相应项发生了错位，出现众多公共项，两式相减，求出Sn。我们把这种方法叫错位相减法.那么与是否可以起到同样的化简效果？设计意图：体现思维的批判性，择优选取，揭示化简本质.为学生熟练掌握错位相差起到了重要作用。第三环节：发散思维深化目标（1）四.教学过程（7）nnnnSqSSqS21第三环节：发散思维深化目标（2）四.教学过程（8）Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1(1)qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn(2)=a1q-1+a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2(3)q2Sn=a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn+a1qn+1(4)(1)–(2)(1)–(3)(1)–(4)效果如何有何启发1nSq四.教学过程（9）第三环节：发散思维深化目标（3）等比定理法qaaaaaaaaaaaannnn1213212312............Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2))递推思想法设计意图:以上两种方法都可以化归到关于Sn的一个递推式Sn=a1+qSn-1,从而求出Sn：以疑导思，拓展学生思维。第二方面:集思广益四.教学过程（10）第三环节：发散思维深化目标（4）第三方面:分析公式特点：1、注意q=1与q≠1两种情形2、3、加上通项公式an=a1qn-1，五个量n、a1、q、an、Sn中，可解决“知三求二”问题。qqaaqqaSnnn11)1(11q≠1时，特点：每个公式中都是含有四个量，知三求二，四个量中必含a1、q两个量。1111例1:求等比数列,,,,前8项和.248166311111、等比数列,,,,前多少项的和是?248166411112、等比数列,,,,求第5项到第10项的和.2481611113、等比数列,,,,求前2n项中所有偶数项的和.24816四.教学过程（11）第四环节：课堂演练巩固提高（1）设计意图：采用变式教学题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式——变式运用公式——研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．（一）、公式的灵活应用：第四环节：课堂演练巩固提高（2）四.教学过程（12）引言中的棋盘上麦粒历史典故（印度国际象棋发明者的故事）（西萨）（二）、公式的实际应用：解：∵a1=1，q=2，n=64∴由：得出n1a(1-q)1-qnS6464641(1-2)211-2S第四环节：课堂演练巩固提高（3）四.教学过程（13）=18446744073709551615（粒）人们估计，如果把这些麦粒依次排列,它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍。若按万粒400克计算，可达7000亿吨。而我国现年产量在1亿吨左右.设计意图：把引入本章时的悬念给予释疑，有助于学生克服认知疲劳，促进积极思维．体验本章知识的意义。第四环节：课堂演练巩固提高（4）四.教学过程（14）练习:等比数列｛an｝中①a1=8，an=0.5,q=0.5,求Sn；②a1=2，S3=26,求a3,q;③a1=2,S3=6,求q.设计意图:由易到难,循序渐进,提高对公式的灵活运用。①②考察公式灵活应用，③针对易错点考察分类讨论思想的应用（三）、公式的灵活运用训练：（一）.师生小结：由学生从知识、思想方法、解决问题的办法等方面进行小结，老师适时补充，以推动学生建立完框架结构.四.教学过程（15）设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．巩固所学知识。第五环节：课堂小结布置作业（2）(二).布置作业：A.研读课文、整理笔记、课后习题3.51(1)(2)(3)(4)2323.nx+x+x++nx思考题(1):求和思考题2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。问截n次后截去的总长是多少——《庄子•天下篇》四.教学过程（16）第五环节：课堂小结布置作业（2）B.（提示：利用错位相减法）五.教学反思（一）、本节课的设计试图以教学大纲为依据，在教法设计上遵循以教师为主导，学生为主体，思维训练为主线，能力发展为主攻的原则，采用类比引导探究发现法,注重知识的创造过程，重视数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力和创新意识.（二）、本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质．