8.建模作业-初等模型

《数学建模》课程作业题第三章初等模型1某企业单件产品的变动费用为50元，售价为100元/件，固定费用为90万元/年.(1)求盈亏平衡点.(2)若企业现有生产能力为2.4万件/年，问每年的盈利为多少？(3)为扩大生产，拟引进一条自动线，每年需增加固定费用20万元，但可节约变动费用10元/件，为扩大销售量，拟降价10%，问此方案在年产量为多少件时可行？一、问题分析企业的盈亏取决于企业产品的销售收入和产品的成本费用，当销售总收入大于总成本费用时，企业就盈利；否则企业就亏损。针对问题一：已知单件产品的变动费用为50元，售价为100元/件为，固定费用为90万元/年。盈亏平衡即就是销售总收入等于总成本费用。针对问题二：企业现有生产能力为2.4万件/年，计算每年的盈利，根据题目所给的数字及问题一的分析，可以计算年利润，此时获取真实的利润。针对问题三：引进一条自动线，每年增加固定费用20万元，节约变动费用10元/件，并且降价10%，分析此方案的可行性，所以必须要计算年产量为多少件时可以达到收支平衡，可以将其划定为规划问题求解。二、模型建立及求解3.1问题一利润w=总销售收入-总成本。为使盈亏平衡点，仅需销售额等于总成本，此时有：w=vx−cx−p其中：c是变动费用，w是总利润，v是售价，p是固定费用，x是产品销售量令w=0,则得到：vx=cx+p即100x=50x+900000经计算，销售量x为18000件。3.2问题二利润W=销售额-总成本。企业现有生产能力为2.4万件/年，每年的盈利为：w=100x−50x−900000经计算，每年的利润w为300000元。3.3问题三对问题一的模型：利润W=销售额-总成本进行扩展，加入条件每年增加固定费用20万元，节约变动费用10元/件，销售降价10%。为使盈亏平衡点，仅需销售额等于总成本，此时有：w=90x−40x−1100000≥0经计算，每年的销售量x至少为22000件。2某厂拟增添设备扩大生产，现有A、B两类设备可选，投产后的生产费用估算如下：设备AB固定费用（元/年）1200024000单件产品变动费用（元）9.56.0试确定两类设备适应的生产规模（提示：即确定当年产量为多大规模时，应选用何种设备）.一、问题分析题目要求确定设备的选择方案，方案的选择以成本最小为目标，所以判断的标准是设备A和B哪一种所需费用最小，而费用的计算涉及到固定费用和单件产品变动费用，成本费用的总和还与产品的销售数量有关。由题目可知方案有两种，一是选择设备A，二是选择设备B，选择两种方案中的一个即选择两种方案成本更少的一个。这必然涉及销售数量问题。可以建立每种方案销售数量与成本的关系模型来进行比较，即可判定方案的选择。二、模型建立及求解设备A成本:𝑤1=9.5𝑥+12000设备B成本:𝑤2=6𝑥+24000其中：𝑤1是使用设备A成本，𝑤2是使用设备B成本，x是销售量。令w1=w2，可求得销售量x为3428.6件，取整3428。计算x取1时两种方案的成本，此时设备A的成本小于设备B。综上所述，我们可以有如下选择：当销售量x小于等于3428件时，选择设备A，当销售量x大于等于3429件时，选择设备B。3某地拟建一工厂，有三种方案可供选择，各方案的生产费用如下：方案ABC固定费用（万元/年）50120264单件产品变动费用（元）402614试确定不同生产规模时应选用的建厂方案.一、问题分析题目要求确定设备的选择方案，方案的选择以成本最小为目标，所以判断的标准是方案AB和C哪一种所需费用最小，而费用的计算涉及到固定费用和单件产品变动费用，成本费用的总和还与产品的销售数量有关。由题目可知方案有三种，一是选择方案A，二是选择方案B，三是选择方案C。选择三种方案中成本更少的一个。这必然涉及销售数量问题。可以建立每种方案销售数量与成本的关系模型来进行比较，即可判定方案的选择。二、模型建立及求解先画出三个方案的销售-成本图，如下：从图中可以看出，销售量较少时方A成本最少，销售量增加后方案B成本最少，销售量较多时方案C成本最少，所以根据上一个问题所建立的模型，求解三条直线的交点。𝑤1=40x+500000𝑤2=26x+1200000𝑤3=14x+2640000其中：𝑤1是使用设备A成本，𝑤2是使用设备B成本，𝑤3是使用设备B成本，x是销售量。𝑤1=𝑤2即40x+500000=26x+1200000得x=50000𝑤1=𝑤3即40x+500000=14x+2640000得x=82307.7𝑤2=𝑤3即26x+1200000=14x+2640000得x=120000所以当产量x=50000时，𝑤1𝑤2𝑤1𝑤3,选用成本比较少的A设备。所以当产量50000x120000时，𝑤1𝑤2𝑤3𝑤2,选用成本比较少的A设备。所以当产量x=120000时，𝑤1𝑤3𝑤2𝑤3,选用成本比较少的C设备。4.在俄国沙皇的宫廷宝藏中,有许多复活节蛋,它们大都以金制作,装饰或内藏着各种钻石.其中有一只较大的金“蛋”,“蛋”壳的外层表面是一个椭球面,其半长轴,半短轴和半立轴分别为8cm,5.2cm和5cm.蛋壳的厚度为0.24cm,重量1680g.试问:这只复活节蛋的壳是否用纯金制作的?(金的密度是19.2g/cm3)一、问题分析题目要求确定复活节彩蛋是否为纯金制作，现给出了彩蛋的重量和其半长轴,半短轴和半立轴的长度，若彩蛋的密度与金的密度相同，则可以判定为纯金制作，若不相等，则不是纯金制作。所以此题转化为求解彩蛋的密度，密度的公式为：ρ=𝑚𝑉其中，m为质量，v为体积。质量已知，体积未知，所以下一步求解彩蛋的体积。二、模型建立及求解彩蛋为有厚度的椭圆体，所以求此体积可以用外壳体积减去空腔部分，已知蛋壳的厚度h为0.24cm，所以内壳的半长轴1a,半短轴1b和半立轴1c分别为：11180.247.765.20.244.9650.244.76aahbbhcch其中：a为半长轴，b为半短轴，c为半立轴，h为蛋壳的厚度所以体积公式有：11114433Vvvabcabc=103.838利用公式ρ=𝑚𝑉=1860/103.838，（利用matlab求解，见附录）得出彩蛋的密度彩为16.1790g/cm3，已知金的密度金为19.2g/cm3，两者密度不相等，可以判定不是纯金。附录%zs_8_4a=8;b=5.2;c=5;a1=a-0.24;b1=b-0.24;c1=c-0.24;m=1680;V=4/3*pi*(a*b*c-a1*b1*c1)p=m/V