第七章 锐角三角函数 导学案

§7．1正切主备：郑春凯审核：吴长奎王光庭备课时间：01.16上课时间：01.17班级____________姓名____________学号___________【课前导入】1．下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？2．思考与探索一除了用∠A的大小来描述倾斜程度，还可以用什么方法？（1）可通过测量BC与AC的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度.（2）可通过测量B1C1与A1C1的长度，再算出它们的比,来说明台阶的倾斜程度.总结：一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个顶点的直角三形（如图），那么图中：成立吗？为什么？结论：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。3．正切的定义：在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作tanA222111ACCBACCBACBCbaAAA的邻边的对边tan对边a【典型例题】1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。BCA113A2C1BBAC35通过上述计算，你有什么发现？互余两角的正切值互为倒数2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3,AB=5，求∠ACD、∠BCD的正切值结论：等角的正切值相等。3．如图,在Ｒt△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝90°,∠Ａ＝30°,Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ:ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则tan∠CFB的值等于()14BAC512BCA234．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB.的平分线，tanB=则CD∶DB=_______课后练习【知识要点】：1．在直角△ABC中,∠C=90°,a、b分别是∠A的对边与邻边,把_______________________________叫做∠A的正切,记做______,即___________________________.2．当锐角越来越大时,的正切值越来___________.【基础与巩固】1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。2．如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=3,AD=4,tanA=_______,tanB=______.3．如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点,连结EB，设∠EBA＝α，则tanα=__________.第2题图第3题图CBA邻边b对边aABCDABACBADCBAECBAA3C2B§7.2正弦、余弦(1)主备：郑春凯审核：吴长奎王光庭备课时间：01.16上课时间：01.18班级____________姓名____________学号___________【课前导入】:1如图,小明沿着某斜坡向上行走了13m,他的相对位置升高了5m.可求出∠A的对边与斜边之比为＿＿＿如果他沿着斜坡行走了26m,那么他的相对位置升高了多少?可求出∠A的对边与斜边之比为＿＿＿以上情况下∠A的邻边与斜边的比值又如何？发现：当直角三角形的一个锐角的大小确定时,它的对边与斜边的比值,邻边与斜边的比值也就确定.2锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数在△ABC中,∠C=90°.我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA.我们把锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA.【典型例题】:1.根据图中数据,分别求出∠A,∠B的正弦,余弦.ABCA对边边∠A的asinA==斜c邻边边∠A的bcosA==斜c2．已知:如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D3．如图,已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（）A．msin40°B．mcos40°C．mtan40°D．4．在△ABC中,∠C=90°,如果2sin3A,.求sinB,tanB的值。5．比较：sin40°与sin80°的大小;()BC(1)sinAAC()CD()(2)sinB()ABCD()(3)cosACD,cosBCD()BCCD()()AC(4)tanA,tanB()ACBD()tan40mcos40°与cos80°的大小?探索与发现当锐角α越来越大时,它的正弦值越来越_____,它的余弦值越来越_____,课后作业:【知识要点】:1.定义:如图,在△ABC中,∠C=90º.⑴我们把∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的__________(sine),记作sinA,即sin斜边aAc⑵我们把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的__________(cosine),记作cosA,即cos斜边bAc2.锐角A的正弦，余弦和正切都是∠A的__________________.3．当锐角越来越大时,的正弦值越来___________，的余弦值越来___________.【基础演练】:4.已知:如图,Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D()BC(1)sinAAC()CD()(2)sinB()ABCD()(3)cosACD,cosBCD()BCCD()()AC(4)tanA,tanB()ACBD()cbaCBA7.3特殊角的三角函数主备：郑春凯审核：吴长奎王光庭备课时间：01.16上课时间：01.22班级：____________姓名：____________学号：____________【新知探索】假如∠A=30°,你能求出sin30°,cos30°,tan30°吗？假如∠A=45°，你能求出sin45°、cos45°、tan45°吗？归纳一下：观测：观查有没有什么规律？【典型例题】1．已知∠A为锐角，cosA=，你能求出sinA和tanA吗?2．求锐角a的度数:3．已知:如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BC=2，BD=.分别求出△ABC、△ACD、△BCD中各锐角4．如图，在△ABC中，已知BC=1+，∠B=60°，2302sin201tan333∠C=45°，求AB的长.课后练习：一．【知识要点】填写下表，并记熟这些值二．【基础演练】1．填空：（1）（2）2．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且有，则△ABC的形状是________________.3.在△ABC中，∠C=90°,sinA=,则cosB=_______,tanB=_______4.已知为锐角，且sin=53,则sin(90°-)=_4．计算下列各式的值：（1）（2）（3）101(32)4cos30|12|3°(4)101|2|sin45(2009)2°tan45-sin30cos60=________;cos45tan230=________.2sin30+3cos60-4tan45cos30sin45+sin30cos45|tanB-3|+(2sinA-3)2=0sincostan三角函数3045607.5解直角三角形主备：郑春凯审核：吴长奎王光庭备课时间：01.16上课时间：01.23班级：____________姓名：____________学号：____________【新知引入】如图,在Rt△ABC中,∠C为直角,其余5个元素之间有以下关系:(1)三边之间关系:（勾股定理）(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)(3)边角之间的关系:利用以上关系,如果知道其中的2个元素(其中至少有一个是边),那么就可以求出其余的3个未知元素.由直角三角形中的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。【典型例题】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,a=5.解这个直角三角形.2．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3,b=.求:(1)c的大小；(2)∠A、∠B的大小.3．已知：如图，⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长.222abcasin,cos,tanbabAAAcc34．在Rt△ABC中，CD是斜边上的高..若AC=8,cosA=0.8，求△ABC的面积.课后练习：【知识要点】1、如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系：（1）三边之间关系：（勾股定理）；（2）锐角之间的关系：；（3）边角之间的关系：；；.（以∠A为例）2、由直角三角形中的，求出的过程，叫做解直角三角形.【基础演练】1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列结论成立的是（）A、c=a·sinAB、b=c·cosAC、b=a·tanAD、a=c·cosA2、在Rt△ABC中∠C=90°，c=8，∠B=30°，则∠A=______，a=______，b=______.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）b=23，c=4；（2）c=8，∠A=60°；cbaCBA§7.6锐角三角函数的简单应用(1)主备：郑春凯审核：吴长奎王光庭备课时间：01.16上课时间：01.24班级__________姓名__________学号_________【知识要点】1．能把实际问题抽象为几何问题，借助直角三角形、锐角三角函数把已知量与未知量联系在一起解决实际问题。2．构造直角三角形是解决这类问题重要辅助线。【典型例题】1.“五一”节,小明和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光,经过2min后,小明离地面的高度是多少?(1).摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次达到10m?(2).小明将有多长时间连续保持在离地面10m以上的空中?2．1.单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到AB’的位置时,∠BAB’=11°,问这时摆球B’较最低点B升高了多少(精确到1cm)?sin110.191cos110.982tan110.194sin110.191cos110.982tan110.194【基础演练】1．已知跷跷板长4m,当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面1.5m.求此时跷跷板与地面的夹角(精确到0.1°).2．如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?§7.6锐角三角函数的简单应用(2)主备：郑春凯审核：吴长奎王光庭备课时间：01.16上课时间：01.25班级__________姓名__________学号_________【知识要点】1．认清俯角与仰角3．解决此类问题的关键是将一般三角形问题，通过添加辅助线转化直角三角形问题。【典型例题】如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼CD的高。若已知楼CD高为30米，其他条件不变，你能求出两楼之间的距离BD吗？2．如图,飞机在距地面9km高空上飞行,先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°,飞行一段距离后，在B处测得该小岛的俯角为60°.求飞机的飞行距离。30°45°45°北东西O南2．方位角：如图，从O点出发的视线与铅垂线所成的锐角,叫做观测的方位角课后练习：【基础演练】1．如图，一座塔的高度TC=120m，甲、乙两人分别站在塔的西、东两侧的点A、B处，测得塔顶的仰角分别为28º、15º。求A、B两点间的距离_________（精确到0.1米）(参考数据：tan280.53,tan150.27)2．如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为60°