有限元法简介

电磁学中有限元法简介摘要：本文简单介绍了有限元法的历史、优点、基本原理及一维的有限元法，并用使用HFSS软件设计了一个各项参数都符合要求的3dB的功率分配器。1.有限元法的历史有限元法起源于航空力学，最早思想是由Courant在1943年提出，但真正确定有限元的学科和命名的则是Clough在1960年给出。我国著名学者冯康也对有限元法做了开创性贡献。20世纪70年代开始，开始在电磁领域移植有限元法，由于其本身的优点，逐渐成为了电磁场数值分析的一个主要分支。有限元法，简称FEM。有限元法有着扎实的理论基础，所给出的结果是变分稳定的。2.有限元法的优点有限元法采用物理上离散与分片多项式插值，因此具有对材料、边界、激励的广泛适应性。有限元法基于变分原理，将数理方程求解变成代数方程组的求解，因此非常简易有限元法采用矩阵形式和单元组装方法，其各个环节易于标准化，程序通用性强，且有较高的计算精度，便于编制程序和维护，适宜于制作商业软件。国际学术界对有限元法的理论、计算技术、以及各方面的应用做了大量的工作，许多问题均有现成的程序，可用的商业软件资源相对较多。3.泛函和变分最速降线问题问题的提出：设点A与原点重合，点B的坐标是（a,b）,重物从A点下落，求出A，B之间的使重物从A运动到B的时间最短的路径。可以求出A到B的总时间：T中只含有y和'y。变分命题的描述：T是(),'yxy的泛函；y满足边界条件(0)0,()yyab；求一个函数y使得泛函T有最小值，也就是有极值。泛函T取极值的时候其变分为0，记为：0T4.一维有限元法有限元法就是变分问题的数值解法，其基本思想是把场方程转化为能量积分的变分问题（能量最小）。静电场中，所有满足相同边界条件的位函数u中，真实的u将保持能量最小。在这里，通过研究平板电容器的电位分布问题来介绍有限元法的基本思想。设电位()ux满足：220dudx，00u，0Nu。不妨取（0,1）区间为例来进行分析，这样也具有普遍意义。20112adyTdxgydx现在总结一下有限元法的基本步骤：首先是根据实际情况对求解区域进行剖分，然后在最基本的剖分单元上做线性近似，再由此得到整个区域能量泛函的表达式。结合具体的边界条件，对能量泛函求变分（极值），得到一组线性方程，然后解方程组得到节点参数的比较精确的近似值。5.3dB功率分配器的HFSS仿真3dB功率分配器的仿真图：仿真结果：各个端口的反射系数，S11，S22，S33曲线图：S12和S13曲线图隔离度S23曲线：在频段5-20GHz范围内，各端口的反射系数都在-10dB以下，输出端口2和3之间的隔离度在-10dB以下，传输系数S12和S13都在-3dB左右，各项指标都符合要求。