中小学数学核心能力的国际比较研究

中小学数学核心能力的国际比较研究摘要：数学能力，尤其是数学核心能力的研究，是当前各国应对国际社会快速发展，进行数学课程改革与数学教育研究的热点。本文分析了当前多国课程标准及研究机构提出的数学核心能力的背景，并比较了这些能力成分的分类、界定特点及其内在原因。当前数学能力研究给我国中小学数学能力研究的借鉴意义主要包括：数学能力研究关注数学核心能力成分；从数学活动特征出发界定数学能力成分；多维度构建数学能力结构。关键词：中小学，数学能力，多国比较奥苏贝尔曾说，“教育就是当学的东西全都忘了的时候，仍保留下来的东西”。所谓“保留下来的东西”便是能力，就数学教育而言，所要保留的即为学生的数学能力。[1]而数学教育究竟应培养学生哪些数学能力，无疑是当今各国数学课程改革及数学教育研究值得探究的问题。国际学生评价项目（ProgrammeforInternationa1StudentAssessment，PISA）数学素养分析框架中便着重分析了8种数学能力成分，[2]PISA2012年[3]又将这8种数学能力成分压缩为7种。我国2004年版的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》修改了传统教学大纲中“三大能力”（数学运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力）加“数学应用能力”的说法，而在课程目标中提出了“数学思考”和“问题解决”两个概念，这种提法一直沿用至今。[4]数学能力研究是当前各国应对国际社会的快速变化，进行数学课程改革与数学教育研究的热点，其中具有严格数学意义的数学核心能力作为数学能力的重要部分已逐渐成为研究者们关注的焦点，当然有少部分国家或研究将元认知、记忆力等能力成分也纳入数学能力的研究范畴。本文拟通过分析2000年以来国内外有关中小学数学能力的相关研究及多国数学课程标准中对数学能力的阐释，探寻新时代中小学生数学能力研究的特点，以期对我国中小学数学能力教学和研究有所启示。一、数学能力的内涵数学能力研究源于能力研究，不同时期的研究者对数学能力有不同的界定和诠释。当前研究者对数学能力的界定主要有以下两类。第一类由心理学能力概念演绎得出。苏联心理学家克鲁切茨基（Kruteskil）关于中小学数学能力的心理学研究对我国数学能力研究有着重大的影响。源于他的研究成果，国内大多数数学教育研究者从心理学的研究视角出发，将数学能力视为顺利而有效地完成数学活动的个性心理特征，[5][6][7]并认为数学能力作为一种特殊能力，它只存在、形成并发展于数学活动中。第二类界定强调数学活动特点。西方数学教育界近年来对数学能力的界定强调形成数学能力的数学活动特征。例如，丹麦学者尼斯（Niss）[8]认为，掌握数学就意味着拥有数学能力（mathematicalcompetence），即能在不同的数学背景与情景内外理解、判断和使用数学，其中能被清晰识别的主要的数学能力结构成分即数学能力成分（mathematicalcompetency）。如今，国外研究者[9]常引用尼斯对数学能力的这一界定。相比之下，从心理学能力概念演绎得出的数学能力界定更多体现的是数学能力的宏观特征，而尼斯的界定则更为具体地解释了如何进行顺利而有效的数学活动以形成数学能力。在笔者看来，后者的界定更有助于人们理解数学能力的本质特征，并有针对性地开展数学能力教学和评价研究。二、数学能力的成分分析（一）重视数学能力培养是多国数学课程改革的共同特点为了适应多元社会的快速发展，当前多国都不约而同地在其数学课程标准②中对数学能力的培养提出了新要求。例如，我国2004年版《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》首次使用了“数学思考”和“问题解决”这两个概念。2011年[10]最新发布的《义务教育阶段数学课程标准》也沿用了这一提法。事实上，“数学思考”能力在很多东亚国家近年发布的数学课程标准中都有所提及。如发表于2007年的新加坡最新中小学数学教学大纲[11][12]沿用了2000年大纲中以发展学生数学问题解决能力为中心的五边形框架，并在过程维度中提出了思考技能（或称思维技能）、数学推理、交流与联系等数学过程性技能。日本2009年版的中学（包括初中[13]和高中[14]）《数学学习指导要领》明确提出增加教学内容和课时数，以确保学生切实掌握基础知识与基本技能，并强调在此基础上培养学生的三大能力，即思考能力、判断能力和表达能力。韩国[15]则于2011年发布了旨在培养学生创新及健全人格的数学课程标准，提出在数学学习、实践过程中培养适应复杂、专业化、多元化的未来社会所需的关键能力：数学推理、问题解决、数学交流。值得注意的是，新、日、韩都在其数学课程标准中提出了培养学生的数学交流表达能力，我国数学课程标准虽在“数学思考”和“问题解决”概念表述中出现了“合作交流”及“表达”这两个关键词，但没有作进一步阐释。事实上，在当代社会经济发展开放、快速、全球化的背景下，有效交流已成为信息传递的最重要途径之一，许多欧美国家（如德国和美国）也都在其数学课程标准中明确提出了培养学生的交流能力。德国[16]于2003年开始陆续推出了以“能力”为导向，针对10年级德语、数学以及英语的全国性教育标准。数学学科借鉴PISA数学测试评价框架，建立了围绕数学过程、内容和水平要求展开的三维课程标准，其中过程维度主要描述了六大数学能力成分，即数学论证、以数学思维解决问题、数学建模、数学表征的应用、数学符号、公式以及技巧的熟练掌握和数学交流。2000年，全美数学教师理事会[17]（NationalCouncilofTeachersofMathematics，NCTM）公布的《美国学校数学教育的原则和标准》（PrinciplesandStandardsforSchoolMathematics）中提出了数学内容与能力并重的10个标准，用以阐述数学理解和能力相互关联的整体，其中涉及到的数学能力成分有数学交流、问题解决、数学推理、联系、数学表征这五种。2010年，全美州长协会（NationalGovernorsAssociation，NGA）和美国州首席教育官员理事会（TheCouncilofChiefStateSchoolOfficers，CCSSO）联合推出并公布的《美国共同核心州数学标准》（CommonCoreStateStandardsforMathematics，CCSSM）[18]又将数学课程目标分成如下8个方面：理解并解决问题、推理、论证并评价他人的推理、数学建模、使用合适的工具、精确化、探求并利用数学结构以及探求规律。澳大利亚[19]课程标准中数学能力的提法不同于上述这些国家。它首先明确提出英语、数学、科学等学科共同培养的7大能力：读写能力、运算能力、使用信息与通信技术能力、批判性与创造性思维能力、个人与社会能力、道德行为能力及跨文化理解能力，而后再从数学学科的特点出发，阐述这七个能力在数学学科中的具体表现。可见，本研究所关注的多国数学课程标准中强调的数学能力成分，其中问题解决、数学交流、数学推理出现的频率位列前三位，这与韩国数学课程标准中所强调的三大数学关键能力恰好吻合。从数学能力成分数量上看，东亚国家（除新加坡外）明显少于西方国家，如中国只明确提出了“问题解决”与“数学思考”这两种，虽然在其能力表述中提到了数学推理、合作交流、提出问题等关键词，但并未对其做进一步的详细说明。（二）数学核心能力是国外数学教育研究者及机构关注的焦点数学能力一直以来都是数学教育研究的重要内容之一。长期以来，我国中小学生数学能力教学、研究都较关注传统的三大数学能力。孙以泽[20]则从活动的主客体出发，将数学能力分为数学基础能力、数学核心能力和综合性数学能力三类，具体包括数学观察力、数学抽象能力等9种能力成分。喻平[21]从数学能力各成分特征出发，将其分为数学元能力、共通任务能力和特定任务能力三类，它们又进一步涵盖了包括自我监控能力、数学阅读能力、数学概括能力在内的11种具体能力成分。类似地，国外研究者塞克瑞（Sekerak）[22]等人也在数学能力研究中考虑了元认知、记忆等数学能力成分。与我国数学能力成分研究关注元认知能力和基础能力不同的是，多数国外数学教育研究机构或研究者更关注具有严格数学意义的数学核心能力成分。丹麦教育部为创建数学教育深入改革的平台，组织了名为“能力与数学学习”的研究项目。该项目采用尼斯等人对数学能力的研究成果，即用8种[23]具有严格数学意义的数学能力成分（数学思维、提出并解决数学问题、数学建模、数学推理、数学表征、数学符号化与形式化、数学交流、工具的使用）描述数学课程，而不再关注传统数学课程标准中的主题、概念与结果。尼斯的研究成果近年来被广泛引用，其中包括PISA。PISA认为个体成功从事不同数学情景、内容下的数学化过程，需要拥有多种数学能力成分的支撑，它们的整合便是一种综合的数学能力。PISA2012年之前4届数学素养分析框架中对数学能力的分析主要参考的是尼斯等人提出的上述8种基本数学能力成分。PISA2012年[24]基于由多个国家的数学家、数学教育者、评价专家组成的数学专家组对往届PISA项目中数学能力的调查，首次将这8种数学能力成分压缩为7个，删去了原有的“数学思维”与“数学建模”能力成分，而新增了“数学化”能力成分。梅尔斯（Melis）[25]等人也在PISA研究基础上对数学能力成分进行了研究。与此同时，美国教育部为了缩短存在于学校教育与社会生活及工作间的巨大差距，使学生能更好地应对社会生活及职业生涯的挑战，于2002年组建了“21世纪技能联盟”（ThePartnershipfor21stCenturySkills，P21），[26]为美国K－12的学生教育设计了21世纪所需的三大关键技能群（即学习与创新、信息媒体及科技、生活及职业），并结合包括数学在内的9个学科，解释各学科中这11种能力（如问题解决、交流合作、社会与跨文化技能等）的具体表现。可见，在上述研究者或机构的研究中，问题解决、数学交流、数学思维、数学表征出现的频率相对较高。而且，课标中出现频率较高的能力成分，都出现在研究者或机构的研究中。换言之，研究者或机构研究对数学能力成分的提法与课程标准中提出培养的数学能力成分具有较高的相似性。三、数学能力成分分析特点从上述对国内外数学课程标准及研究的比较分析可以看出，近年来中小学生数学能力成分研究呈现出如下特点：（一）“问题解决”和“数学交流”出现频次居首，相同能力成分的表述存在差异为便于比较，在统计时，笔者将与问题解决密切相关的能力成分都合计为“问题解决”。由此显示，多数国家的数学课程标准及研究都将“问题解决”和“数学交流”视为不可或缺的数学能力成分。其次出现频率较多的数学能力成分依次为“数学思维”、“数学表征”、“工具使用”和“数学推理”等。虽然“问题解决”与“数学交流”出现频率最高，但同一能力成分在不同的数学课程标准及研究中其表述存在差异。如“提出并解决数学问题”强调提问及问题类型的重要性，“设计问题解决策略”则着重于从一个任务或情境中选择或设计使用数学解决问题的计划或策略，并指导其实施的过程。我国课程标准对“问题解决”的分析相较于国外研究在表述上相对抽象。“数学交流”表述的差异主要在于交流的方向性，如新加坡教学大纲中的数学交流主要指表达数学思想，而尼斯的数学交流则强调数学信息的双向传达，表达形式包括书面、视觉及口语。在各种能力成分中，国内外研究者对“数学思维”的界定差异较显著。我国学者邵光华[27]认为，数学思维能力包括数学概括、数学抽象、数学推理、数学化归及思维简缩这五个方面，而尼斯对数学思维的界定相对更具体，他认为数学思维指能提出具有数学特点的问题，并能识别数学答案；能理解并应对给定概念的适用范围与限制；通过对数学对象的抽象化与类比，扩大数学概念范围；能识别不同的数学表述。（二）数学能力成分确定方式不同，存在能力成分隐藏现象课程标准及研究者们确定数学能力成分的方式存在着差异。大部分研究及数学课程标准从数学学科的特点出发，确定数学能力成分，澳大利亚课程标准与P21则先提出各学科共同培养的学生面对现在及今后社会生活所