重庆大学《高等数学-Ⅱ-2》重修试题A09-10年6月(答案)

重庆大学试卷教务处07版第1页共3页重庆大学高等数学Ⅱ-2（重修）课程试卷2009~2010学年第二学期开课学院：数理学院课程号：考试日期2010年6月考试方式：考试时间：120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、填空题（每空3分，共15分）⒈已知向量(1,2,3)a与(3,2,1)b，则ba10。2．已知cos(2)xyz，则dzsin(2)(2)xydxdy。⒊级数11(1)nnnxn的收敛区间为1,1。4．设(1,2)(1,5)Lxoy为面上从点到点的直线段，则曲线积分(,)LPxydx0。⒌已知二阶线性非齐次微分方程的三个线性无关的特解为123,,yyy，则该方程的通解为1221311()()CCyyyyy。二、计算题（共18分）⒈（9分）设yxze，求dz．解：21()yxyzzdzdxdydxdyxyxxe.2．（9分）求数量场222uxyyzxz在点(1,1,1)M处沿向量(1,2,1)L的方向导数。解：02221|(2,2,2)|(1,2,1)6MMuuLxyzxyzyxzL1(3,3,3)(1,2,1)06三、计算题（共18分）1．（9分）设曲线积分2()[2()]Lyfxdxxfxxdy在右半平面(0)x内与路径无关，其中()fx可导，且(1)1f，求()fx。2()2()PyfxQxfxx积分与路径无关PQyx即1()()12fxfxx满足(1)1f112211lnln2232()()()1()122()33dxdxxxxxfxeedxCeedxCxdxCxCxCxxx代条件1(1)1:3fC得命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学试卷教务处07版第2页共3页21()33fxxx2．（9分）利用格林公式计算曲线积分232(1)23Lyxdxxydy，其中L为正向圆周222yxx。解：由格林公式0)()(2222DDLdxdyyxdxdyyyx.23224138cos820422cos2033ddrrddrdrD用极坐标四、计算题（共49分）1．（9分）求解微分方程/tansecyyxx解tantan(sec)xdxxdxyexedxc=lncoslncos(sec)xxexedxc=1cos(sec)cosxxdxcx=2cos(sec)xxdxc=sincosxcx2．（9分），求过点03,0,7P且垂直于向量5,2,1n的平面方程解：由平面的点法式方程0000AxxByyCzz得5320(1)70xyz即52220xyz3．（9分）利用高斯公式计算积分333,xdydzydzdxzdxdy其中∑为0,1,0,1,0,1xxyyzz所围闭曲面的外侧。解：22222221112000(333)3()993Ixyzdvxyzdvxdvdzdyxdx4．（9分）求幂级数1nnnx的收敛半径、收敛域及和函数。重庆大学试卷教务处07版第3页共3页解：lim11nnRn当11(1)nnxn时发散收敛域为（-1，1），令和函数为：11112()()()1(1)nnnnnnSxnxxnxxxxxxxx5．（13分）求二元函数2223zxy在22:44Dxy上的最值。解令40,60zzxyxy得唯一驻点(0,0)；函数在定义域的边界2244xy上的条件极值点的坐标满足方程2242068044xxyyxy解方程组得点(2,0),(2,0),(0,-1),(0,1)由于(0,0)0,(2,0)8,(2,0)8fff，(0,1)(0,1)3ff所以函数在Dxy:2244上的最大、最小值分别为8和0.