微分方程模型

系部专业成绩评定班级学号姓名课程名称数学建模实验实验时间实验编号实验二实验名称微分方程模型求解实验环境MATLAB软件实验目的（一）掌握常微分方程解析解和数值解的求解方法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；（二）熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；（三）通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；实验内容（①算法、程序、步骤和方法②输入、输出、实验结果③实验结果分析）1．求微分方程的解析解,并画出它们的图形，（1）y'=y+2x,y(0)=1,0x1;（2）y''+ycos(x)=0,y(0)=1,y'(0)=0;解：（1）f=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')f=3*exp(x)-2*x–2x=0:.1:1;f=3*exp(x)-2*x-2;plot(x,f)f为（1）的解析解（2）f=dsolve('D2y+y*cos(x)=0','y(0)=1','x')Warning:Explicitsolutioncouldnotbefound.Indsolveat101f=[emptysym]所以（2）没有解析解2.求方程y'=y-2x/y,y(0)=1(0≤x≤1)的数值解，要求画出解函数的图形。F=inline('y-2*x/y','x','y');ode23(F,[0.1],1)3．两种生物种群竞争模型两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。假设有甲乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从Logistic规律，即有其中x1(t),x2(t)分别为两种生物种群在时刻t的数量，λ1，λ2分别为其自然增长率，N1，N2是它们各自的最大容量。)1()1(2222211111NxxxNxxx当两个种群在同一个自然环境下生存时，乙消耗的同一自然资源对甲的增长产生了阻滞作用，设为甲对乙的阻滞作用设为由于生物种群的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。生物种群的相互竞争模型为1）m2(m1)为种群乙(甲)占据甲(乙)的位置的数量，并且m2=α1x2;m1=α2x1。当10,2,5.0,100,12010212,12,1xxmmN时，计算x1(t)和x2(t),并画出图形及相轨迹图。解释其解变化过程。2）改变λ1，λ2,N1,N2,10x，20x，而α1，α2不变，计算并分析结果；若α1=1.5，α2=0.7，再分析结果。由此能得到什么结论。解：（1）(1)建立M文件functionl=logistic(t,x)r=[11];n=[100100];m=[0.52];l=[r(1)*x(1)*(1-(x(1)+m(2))/n(1));r(2)*x(2)*(1-(x(2)+m(1))/n(2))];在命令窗口输入x0=[1010];t0=[010];[tx]=ode45('logistic',t0,x0);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'b');xlabel('时间');ylabel('种群数量');title('种群数量与时间的关系');text(t(16),x(16,1),'\leftarrow种群一的数量');text(t(18),x(18,2),'种群二中的数量\rightarrow','HorizontalAlignment','right');pauseplot(x(:,1),x(:,2));xlabel('种群一数量');ylabel('种群二数量');title('相图');212xN121xN1211111221222221(1)(1)xxxxNNxxxxNN两个种群的数量都随时间而增长；经过5、6个单位时间左右（具体根据方程而定，如年、月），种群数量达到稳定。(2).建立M文件functionl=logistic(t,x)r=[0.30.8];n=[100100];m=[0.52];l=[r(1)*x(1)*(1-(x(1)+m(2))/n(1));r(2)*x(2)*(1-(x(2)+m(1))/n(2))];在命令窗口输入x0=[1010];t0=[010];[tx]=ode45('logistic',t0,x0);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'b');xlabel('时间');ylabel('种群数量');title('种群数量与时间的关系');text(t(16),x(16,1),'\leftarrow种群一的数量');text(t(18),x(18,2),'种群二的数量\rightarrow','HorizontalAlignment','right');pauseplot(x(:,1),x(:,2));xlabel('种群一数量');ylabel('种群二数量');title('相图');实验总结在这次试验，我利用matlab软件求解常微分方程解析解和数值解，熟悉matlab软件关于微分方程求解的各种命令，并通过范例学习建立微分方程方面的数学模型并且求解模型，根据求解结果，结合图形对解得特征作定性分析。通过这次试验，我更好的掌握了利用matlab求解常分方程的解析解和数值解的求解方法，学会了如何根据图形对求解的结果进行分析，把理论学习应用到实际建模中，切实做到理论联系实际，从而更好的掌握知识。