有限元法的理论基础

有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。材料可以理想化为线弹性和各向同性的。根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。2.2.3连续体离散化连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元可以是四面体、长方体和六面体等。为合理有效地表示连续体，需要适当选择单元的类型、数目、大小和排列方式。离散化的模型与原来模型区别在于，单元之间只通过节点相互连接、相互作用，而无其他连接。因此这种连接要满足变形协调条件。离散化是将一个无限多自由度的连续体转化为一个有限多自由度的离散体过程，因此必然引起误差。主要有两类：建模误差和离散化误差。建模误差可以通过改善模型来减少，离散化误差可通过增加单元数目来减少。因此当单元数目较多，模型与实际比较接近时，所得的分析结果就与实际情况比较接近。2.4单元分析（1）选择位移模式在有限元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分力一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。与力法相比，位移法具有易于实现计算机自动化的优点，因此，在有限元法中，位移法应用最广。如采用位移法计算，单元内的物理量如位移、应力、应变就可以通过节点位移来描述。在有限元法中，首先将单元内的位移表示成单元节点位移函数，称为位移函数或者位移模式，位移函数通常为多项式，最简单的情况是线性多项式。（2）分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位移和含义等，应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立节点载荷和节点位移的方程式，导出单元的刚度矩阵。设节点载荷向量用Fͤ表示，节点位移向量用△ͤ表示，则单元的载荷和位移的关系式为Fͤ=Kͤ△ͤ式中，kͤ为单元刚度矩阵。（3）计算等效节点载荷连续体离散化后，力是通过节点从一个单元传递到另一个单元的。但在实际的连续体中，力是由一个单元传递到另一个单元的，故要把作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力等效地移到节点上，即用等效的节点力来代替所有在单元上的力。2.5组成物体的整体方程组由已知的单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵集成得到整个结构的总刚度矩阵和结构载荷列阵，从而建立起整个节点载荷与节点位移的关系式。设总刚度矩阵为K、载荷向量为F，节点位移向量为△，则整个结构的平衡方程为F=K△得到整个结构的平衡方程后，还需要考虑其边界条件或初始条件，才能求解上述方程组。2.6求解有限元方程和结果解释求解上述的结构平衡方程。求解结果是单元节点处状态变量的近似值，对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、求解和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后处理则是采集求解分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。由于在实际工程问题中，结构件的几何形状、边界条件、约束条件和外载荷一般比较复杂，需要进行相应的简化。这种简化必须尽可能反映实际情况，且不会使计算过于复杂。在进行力学模型的简化时要注意以下几点：1）判别实际结构是属于哪一种类型，是属于一维问题、二维问题还是三维问题。如果是二维问题，要分清是平面应力问题还是平面变力问题，若能简化成平面问题的就不要用三维实体单元去分析。2）注意实际结构的对称性，如果对称，可以利用结构的对称性进行计算简化。3）对实际机构建模时可以去掉一些不必要的细节，比如倒角等。4）简化后的力学模型须是静定结构或是超静定结构。3.UG高级仿真综述UGNX4高级仿真是一个综合性的有限元建模和结果可视化的产品，旨在满足设计工程师与分析师的需要。高级仿真包括一整套前处理和后处理工具，并支持广泛的产品性能评估解法。3.1高级仿真工作流程在开始一个分析前，应该对试图求解的问题有一彻底了解。应该知道将利用哪个求解器，正在执行什么类型的分析和需要什么类型的解决方案。下列简要摘录了在结构仿真中通用的工作流程。（1）在NX中，打开一部件文件。（2）启动高级仿真应用。为FEM和仿真文件规定默认求解器（设置环境，或语言）。注意：也可以选择先建立FEM文件，然后再建立仿真文件。（3）建立一解决方案。选择求解器（如NXNastran）、分析类型（如Structural）和解决方案类型（如LinearStatics）。（4）如果需要，理想化部件几何体。一旦使理想化部件激活，可以移去不需要的细节，如孔或圆角，分隔几何体准备实体网格划分或建立中面。（5）使FEM文件激活，网格划分几何体。首先利用系统默认自动地网格化几何体。在许多情况下系统默认提供一好的高质量的网格，可无须修改使用。（6）检查网格质量。如果需要，可以用进一步理想化部件几何体细化网格，此外在FEM中可以利用简化工具，消除当网格划分模型时由CAD几何体可能引起的不希望结果的问题。（7）应用一材料到网格。（8）当对网格满意时，使仿真文件激活、作用载荷与约束到模型。（9）求解模型。（10）在后处理中考察结果。